卡塔兰猜想

卡塔兰猜想也称为米哈伊列斯库定理，是比利时数学家欧仁·查理·卡塔兰在1844年提出的数论猜想，已在2002年4月由帕德博恩大学的罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊列斯库证明了这猜想，因此也称为米哈伊列斯库定理，证明大幅使用了分圆域和伽罗华模。

此定理断言除了$8=2^{3}$，$9=3^{2}$，没有两个连续整数都是正整数的幂（即次方数）；以数学方式表述为：不定方程$x^{a}-y^{b}=1$的大于1的正整数$x,y,a,b$只有唯一解$x=3,y=2,a=2,b=3$。

历史

在卡塔兰之前已有人考虑过类似的问题。

• 1320年左右，莱维·本·热尔松（1288年—1344年）证明2和3的幂之间只有8和9相差是1。
• 莱昂哈德·欧拉证明，x² - y³ = 1只有一解：x = 3,y = 2。
• 勒贝格证明了方程x^a - y² = 1，a > 1 没有正整数解。
• 1965年柯召证明方程x² - y^b = 1，b > 1 只有一个解。

于是卡塔兰猜想只余下$a,b$为奇素数的情况。

• 1976年罗贝特·泰德曼(Robert Tijdeman)证明卡塔兰猜想的方程只有有限个解。雷·斯坦纳(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奥特（Maurice Mignotte）也对这猜想作出贡献。
• 皮莱猜想（Pillai's conjecture）：把卡塔兰猜想一般化，推测正整数的幂之间的差趋向无限大；换句话说，对任何正整数，仅有限多对正整数的幂的差是这个数。这猜想现在仍未解决。若abc猜想成立，则皮莱猜想也成立。

参见

• 费马-卡塔兰猜想
• 布罗卡问题

参阅

• 埃里克·韦斯坦因. Catalan's conjecture. MathWorld. 
• Ivars Peterson's MathTrek（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture