垂足三角形

在几何学上，垂足三角形（英语：Pedal triangle）是将一个点投影至三角形的边上所得到的三角形。

三角形 ABC 为黑色，从 P 延伸出去的三条垂线为蓝色，由此得到的垂足三角形 LMN 为红色

具体地说，考虑一个三角形$ABC$，选定一个异于顶点$A,B,C$的点$P$。通过$P$对三角形的三边做垂直线，将这些垂直线与${\overleftrightarrow {BC}},{\overleftrightarrow {AC}},{\overleftrightarrow {AB}}$的交点分别命名为$L,M,N$，则三角形$LMN$是一个垂足三角形。

性质

如果$ABC$不是钝角三角形，则其垂足三角形$LMN$的内角角度分别为$180^{\circ }-2A$、$180^{\circ }-2B$、$180^{\circ }-2C$。 若$P$点位于三角形$ABC$的特殊中心上，则有一些特殊情况：

• 若$P$是$ABC$的垂心，则$LMN$是垂心三角形（英语：Orthic triangle）。
• 若$P$是$ABC$的内心，则$L,M,N$是$ABC$之内切圆的三个切点。
• 若$P$是$ABC$的外心，则$LMN$是中点三角形。

若$P$点以三角形$ABC$为基准的三线坐标是$p:q:r$，则其垂足三角形的顶点$L,M,N$坐标为：

$L=0:q+p\cos {C}:r+p\cos {B}$

$M=p+q\cos {C}:0:r+q\cos {A}$

$N=p+r\cos {B}:q+r\cos {A}:0$

相关定理

P 在外接圆上的情形，此时垂足三角形退化为一条线（红色）

卡诺定理：红色区域与蓝色区域的面积相等

西姆松定理

主条目：西姆松定理

若$P$点位于$ABC$的外接圆上，则$L,M,N$共线，反之亦然。这条线被称为垂足线（英语：Pedal line），又称为西姆松线（英语：Simson line）。

卡诺定理

主条目：卡诺定理 (垂线)

$A,B,C,L,M,N$六点满足以下等式：

${\overline {AN}}^{2}+{\overline {BL}}^{2}+{\overline {CM}}^{2}={\overline {NB}}^{2}+{\overline {LC}}^{2}+{\overline {MA}}^{2}$

反垂足三角形

三角形 ABC 为红色，从 P 延伸至顶点的三条线为蓝色，由此得到的反垂足三角形 LMN 为黑色

过$A$作一条垂直于${\overline {PA}}$的直线，过$B$作一条垂直于${\overline {PB}}$的直线，过$C$作一条垂直于${\overline {PC}}$的直线，则这三条直线构成的三角形称为反垂足三角形（英语：Antipedal triangle）。在这个反垂足三角形中，设与$A$相对的顶点为$A^{\prime }$，与$B$相对的顶点为$B^{\prime }$，与$C$相对的顶点为$C^{\prime }$。

$ABC$是$A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$在$P$点上的垂足三角形，这也是其名称的由来。

若$P$点以三角形$ABC$为基准的三线坐标是$p:q:r$，则反垂足三角形的顶点$A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$坐标为：

$A^{\prime }=-(q+p\cos {C})(r+p\cos {B}):(r+p\cos {B})(p+q\cos {C}):(q+p\cos {C})(p+r\cos {B})$

$B^{\prime }=(r+q\cos {A})(q+p\cos {C}):-(r+q\cos {A})(p+q\cos {C}):(p+q\cos {C})(q+r\cos {A})$

$C^{\prime }=(q+r\cos {A})(r+p\cos {B}):(p+r\cos {B})(r+q\cos {A}):-(p+r\cos {B})(q+r\cos {A})$

一个特殊的例子是，如果$P$点位于内心，则该反垂足三角形以$ABC$的三个旁心为顶点。