局部环

在数学中，局部环是只有一个极大理想的交换环。

局部环的概念由 Wolfgang Krull 于1938年引入，称之为 Stellenringe，英译 local ring 源自扎里斯基。

定义

设 $R$ 为交换含幺环。若 $R$ 仅有一个极大理想 ${\mathfrak {m}}$ ，则称 $R$ （或 $(R,{\mathfrak {m}})$ ）为局部环。域 $R/{\mathfrak {m}}$ 称为 $R$ 的剩余域。

若 $R$ 中仅有有限个极大理想，则称之为半局部环。

一个局部环 $(R,{\mathfrak {m}})$ 上带有一个自然的 ${\mathfrak {m}}$ -进拓扑，使得 $R$ 成为拓扑环；其开集由 $\{{\mathfrak {m}}^{i}:i\geq 0\}$ 生成。当 $R$ 为诺特环时，可证明 $R$ 为豪斯多夫空间，且所有理想皆是闭理想。

设 $(R,{\mathfrak {m}}),(S,{\mathfrak {n}})$ 为局部环，环同态 $\phi :R\rightarrow S$ 被称为局部同态，当且仅当 ${\mathfrak {m}}=\phi ^{-1}({\mathfrak {n}})$ 。

例子

域是局部环。
形式幂级数环 $k[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$ 是局部环，其中 $k$ 是个域。极大理想是 $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ 。
取系数在 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ 上，原点附近收敛半径为正的幂级数，它构成一个局部环，极大理想表法同上。
凡赋值环皆为局部环。
设 $R$ 为任意交换环， ${\mathfrak {p}}$ 为素理想，则相应的局部化 $(R_{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}})$ 是局部环；这也是局部环应用的主要场合。若 $(R,{\mathfrak {p}})$ 已是局部环，则 $R{\stackrel {\sim }{\rightarrow }}R_{\mathfrak {p}}$ 。
局部环的商环仍是局部环。

动机与几何诠释

局部环意在描述一个点附近的函数“芽”。设 $X$ 为拓扑空间， $F:=\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ ，且 $x\in X$ 。考虑所有资料 $(f,U)$ ，其中 $U$ 是 $x$ 的一个开邻域，而 $f:U\rightarrow F$ 是连续函数。引入等价关系：

(f,U)\sim (g,V)\iff \exists W\subset U\cap V,\;f|_{W}=g|_{W}

且

W

是

x

的开邻域。

换言之，若两个函数在 $x$ 附近一致，则视之等同。上述等价类在逐点的加法及乘法下构成一个环 $\Gamma _{x}$ ，其元素称作在 $x$ 的连续函数芽，它体现了连续函数在 $x$ 附近的行为。若 $s\in \Gamma _{x}$ 满足 $s(x)\neq 0$ ，则存在一个 $x$ 的开邻域 $U$ 及连续函数 $f:U\rightarrow F$ ，使得 $[f,U]=s$ 且 $f$ 恒非零，因此可定义乘法逆元 $1/s:=[1/f,U]$ 。于是 $\Gamma _{x}$ 是局部环，其唯一的极大理想是所有在 $x$ 点取零的函数，剩余域则是 $F$ 。