普法夫约束

动力学中的普法夫约束（Pfaffian constraint）是一种用以下形式描述系统的方式：

$\sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L$

其中$L$是系统限制方程的个数。

非完整系统一定可以表示为普法夫约束的形式。

推导

假设一个用以下非完整约束方程组描述的非完整系统

$f_{r}(u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n},t)=0;\;r=1,\ldots ,L$

其中$\{u_{1},u_{2},u_{3},\ldots ,u_{n}\}$是n个描述系统的广义座标，而$L$是系统约束方程的数量，可以将每一个方程用连锁律微分：

$\sum _{s=1}^{n}{\frac {\partial f_{r}}{\partial u_{s}}}du_{s}+{\frac {\partial f_{r}}{\partial t}}dt=0;\;r=1,\ldots ,L$

经过置换后可以得到下式：

$\sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}+A_{r}dt=0;\;r=1,\ldots ,L$

例子

单摆

单摆

考虑单摆，其重物的运动会受到摆长的约束，其重物的速度向量${\overrightarrow {V}}$随时都会和位置向量${\overrightarrow {L}}$垂直。因为二个向量永远正交，因此其点积恒为零。重物的位置和速度可以用以下$x$-$y$座标系统中的系统来定义：

${\overrightarrow {L}}\cdot {\overrightarrow {V}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{bmatrix}}=0$

简化点积后可得：

$x{\dot {x}}+y{\dot {y}}=x{\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}+y{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}=0$

将等号两边同乘${\text{d}}t$，结果就是约束方程的普法夫约束形式：

$x{\text{d}}x+y{\text{d}}y=0$

普法夫形式很好用，若非完整约束方程存在，可以将普法夫形式积分来求解系统的非完整约束方程。此例中的积分是很明显的：

$\int x{\text{d}}x+\int y{\text{d}}y=0=x^{2}+y^{2}+C$

其中C是积分常数。

也可以写成

$x^{2}+y^{2}=L^{2}$

$L^{2}$写成平方项只因为其必定是正数。在实际系统中，座标一定都是实数。而$L$就是单摆的摆长。

机器人

机器人运动规划中的普法夫约束（Pfaffian constraint），是由k个线性无关约束的集合，而这些约束都对速度线性，也就是说

$A(q){\dot {q}}=0$

轮式机器人（wheeled robot）中滚动不滑动的条件即为普法夫约束。