耶森二十面体
耶森二十面体又称为耶森正交二十面体是一种非凸多面体，其具有与正二十面体相同的面数、边数和顶点数，拓朴结构上对应的图亦相同[1]。耶森二十面体的名称来自1967年研究此种立体的伯格·耶森，[2]然而肯尼斯·斯内尔森在伯格·耶森发表关于此种立体的研究之前就建造了此种立体的模型。[3]
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| 类别 | 非凸多面体 活动多面体 | |
|---|---|---|
| 识别 | ||
| 名称 | 耶森二十面体 Jessen's icosahedron | |
| 别名 | 耶森正交二十面体 六杆张拉整体结构 张拉整体二十面体 扩展八面体 | |
| 性质 | ||
| 面 | 20 | |
| 边 | 30 | |
| 顶点 | 12 | |
| 欧拉特征数 | F=20, E=30, V=12 （χ=2） | |
| 二面角 | 90度 | |
| 组成与布局 | ||
| 面的种类 | 8个正三角形 12个等腰三角形 | |
| 对称性 | ||
| 对称群 | Th, [4,3+], (3*2), order 24 | |
| 图像 | ||
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耶森二十面体的面只能以直角相交，然而其无法全部的面都与座标轴平行。耶森二十面体是一种不稳定的多面体，虽然其不是弹性多面体但其仍然保留了些许可动性。若用竿子和绳子沿这种立体的边缘搭建出一个立体结构，则这个立体结构是一种常见的张拉整体结构，[4]称为六杆张拉整体结构[3][5]、张拉整体二十面体或扩展八面体。[6]
性质
编辑耶森二十面体由20个面、30条边和12个顶点组成。其顶点具有点可递的特性，也就是说该几何结构中的任2个顶点其中一个顶点可以透过平移、旋转与镜射的过程映射到另一个顶点，换句话说这个几何结构的顶角是全等的，是一个等角立体。[2]此外，耶森二十面体的二面角皆为直角。[2]
耶森二十面体可以视为一种直角多面体系列的最简单的版本，该多面体系列可以透过将多个耶森二十面体以正三角形面对正三角形面黏合来组成一系列的直角多面体序列。[2]
耶森二十面体与埃里希·舒恩哈特提出的舒恩哈特八面体一样无法在不新增顶点的情况下将其三角化为由若干四面体组成的立体。[7]
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耶森二十面体 -
尺寸
编辑若耶森二十面体长边为4单位长，则短边边长为：[8]
- 2.44948974单位长
外接球半径为：[8]
- 2.236067977单位长
体积 为：[8]
- 平方单位
顶点座标
编辑耶森二十面体的顶点座标可以表示为 的循环排列[2]。以这些座标构建的耶森二十面体短边长度为6的平方根、长边的长度为4。构成这个立体的面有两种，一种是由短边长构成的正三角形；另一种是由短边作为腰长、长边作为底边长的等腰三角形。[9]
结构刚性
编辑
耶森二十面体不是弹性多面体，也就是说，如果耶森二十面体是透过刚性的面并以铰链连接每个面构成的，则其不具备可活动性，无法改变形状。然而若面并非刚性，则其仍然保留了些许可动性。也就是说，顶点与顶点之间能够在不改变边的边长之情况下运动，虽然面仍可能变形，但仍为一阶近似。由于其具备刚性又保留了些许可动性，因此可以视为一种“可活动的多面体”（shaky polyhedron）的例子之一[4][10]。若这个立体允许边长有微小的变化，则可以导致整体结构的角度有更大的变化，因此这个立体的物理模型会具备更大的弹性。[11]
若将耶森二十面体的长边以刚性的竿子构建、短边由线或绳子搭建则能产生一种张拉整体的结构，这种结构曾由肯尼斯·斯内尔森于1949年建造出来[3]，并被巴克敏斯特·富勒描述[4]，并将之称为称为六杆张拉整体结构[3][5]、张拉整体二十面体或扩展八面体[6]。
上述的雕塑结构同时也是机器人中常见的张拉整体结构，同时这种结构早在1980年代已普遍地运用在一种名为Skwish的儿童玩具中[3]。基于这种设计的超级球机器人（super ball bot）也由NASA先进概念研究所提出，预计用于封装太空设备用于探索其他行星时的着陆方式[12]。
相关多面体
编辑透过将正二十面体的某些三角形两两一组换成2个等腰三角形也能产生类似的几何形状，这些形状有时会被误认为是耶森二十面体张拉整体的特性[注 1]，然而其不具备张拉整体的特性，也不会形成直角的二面角。[6]
参见
编辑注释
编辑参考文献
编辑- ^ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. (编). Jessen's Orthogonal Icosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Jessen, Børge. Orthogonal icosahedra. Nordisk Matematisk Tidskrift. 1967, 15 (2): 90–96. JSTOR 24524998. MR 0226494.
- ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 Cera, Angelo Brian Micubo. Design, Control, and Motion Planning of Cable-Driven Flexible Tensegrity Robots (Ph.D. thesis). University of California, Berkeley. 2020: 5 [2021-09-07]. （原始内容存档于2022-01-10）.
- ^ 4.0 4.1 4.2 Goldberg, Michael. Unstable polyhedral structures. Mathematics Magazine. 1978, 51 (3): 165–170. JSTOR 2689996. MR 0498579. doi:10.2307/2689996.
- ^ 5.0 5.1 冯晓东; 周倩倩; 章万鹏; 何溯; 张佳丹; 赵容舟. 一种空间六杆张拉整体结构找形分析与设计. 西安建筑科技大学学报(自然科学版). 2020, 52 (03). ISSN 1006-7930. doi:10.15986/j.1006-7930.2020.03.006.
- ^ 6.0 6.1 6.2 6.3 Pugh, Anthony. An Introduction to Tensegrity. University of California Press. 1976: 11, 26 [2021-09-07]. ISBN 9780520030558. （原始内容存档于2021-09-07）.
- ^ Bezdek, Andras; Carrigan, Braxton. On nontriangulable polyhedra. Beiträge zur Algebra und Geometrie. 2016, 57 (1): 51–66. MR 3457762. doi:10.1007/s13366-015-0248-4.
- ^ 8.0 8.1 8.2 David I. McCooey. Other Solids: Jessen's Orthogonal Icosahedron. [2022-07-31]. （原始内容存档于2022-07-31）.
- ^ Kim, Kyunam; Agogino, Adrian K.; Agogino, Alice M. Rolling locomotion of cable-driven soft spherical tensegrity robots. Soft Robotics. June 2020, 7 (3): 346–361. PMC 7301328
. doi:10.1089/soro.2019.0056.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Shaky Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Gorkavyy, V.; Kalinin, D. On model flexibility of the Jessen orthogonal icosahedron. Beiträge zur Algebra und Geometrie. 2016, 57 (3): 607–622. MR 3535071. doi:10.1007/s13366-016-0287-5.
- ^ Stinson, Liz. NASA's Latest Robot: A Rolling Tangle of Rods That Can Take a Beating. Wired. February 26, 2014 [2021-09-07]. （原始内容存档于2020-11-12）.
- ^ Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin. 1991: 161.
- ^ Junker, D. How 'Shaky' Is the Jessen's Orthogonal Icosahedron? (PDF). flyping-games.com. [2021-09-07]. （原始内容存档 (PDF)于2021-10-18）.
外部链接
编辑
- Jessen's icosahedron （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Maurice Stark