贝尔性质

若一个拓朴空间$X$的子集合$A$有贝尔性质，或是一个几乎开集，就表示这集合与开集之间的差为一个贫乏集；换句话说，若存在一个开集合$U\subseteq X$使得$A\bigtriangleup U$为贫乏集（此处的$\bigtriangleup$为对称差），那么就说$A$有贝尔性质。

定义

若一个拓朴空间$X$的子集合$A$是一个有贝尔性质的几乎开集，那就表示存在一个$U\subseteq X$使得$A\bigtriangleup U$为贫乏集，此处的$\bigtriangleup$为对称差；此外若$A$有限制意义下的贝尔性质的话，就表示说对于任意$X$的子集合$E$而言，$A$跟$E$的交集$A\cap E$相对于$E$有贝尔性质。

性质

有贝尔性质的集合构成集族为一个σ-代数，也就是说，几乎开集的补集也是几乎开集，且任何可数多个几乎开集的联集或交集也是几乎开集；此外，由于空集合本身是贫乏集，因此所有的开集都是几乎开集之故，因此所有的博雷尔集都是几乎开集。

若一个波兰空间的子集合有贝尔性质，那么与其对应的巴拿赫－马祖尔游戏是决定的。此命题的逆命题一般不成立，然而若一个适当点类$\Gamma$中的所有游戏都是决定的，那$\Gamma$中的每个集合都有贝尔性质，也就是说根据由足够大的基数推导而出的射影决定性，波兰空间中所有的射影集都有贝尔性质。

利用选择公理，可知一些实数的子集不具贝尔性质，一个没有贝尔性质的实数子集的具体的例子是维塔利集合。实际上选择公理就已足以证明这点：根据布尔素理想定理，自然数集合上存在有一个非主理想超滤子，而每一个有如此性质的超滤子，都可在以二进制表示实数的状况下，用以导出一个没有贝尔性质的实数集。

参见

• 几乎开映射
• 贝尔纲定理
• 开集

外部链接

• Springer Encyclopaedia of Mathematics article on Baire property （页面存档备份，存于互联网档案馆）