克萊恩-戈登方程式為
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很多時候會用自然單位(c=ħ=1)寫成
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由於平面波為此方程式已知的一組解,所以方程式形式由它決定:
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遵從狹義相對論的能量動量關係式
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跟薛丁格方式不同,每一個k在此都對應著兩個 ,只有通過把頻率的正負部份分開,才能讓方程式描述到整個相對論形式的波函數。若方程式在時間流逝下不變,則其形式為
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自由粒子的薛丁格方程式是非相對論量子力學的最基本方程式:
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其中 是動量算符。
薛丁格方程式並非相對論協變的,意味著它不滿足愛因斯坦的狹義相對論。
利用狹義相對論中的相對論能量公式 替換薛丁格方程式左邊的動能 項,最終可得它的協變形式:
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其中 ,達朗貝爾算符 .
從相對論量子力學的觀點來看,達朗貝爾算符的出現意味著克萊恩-戈登方程式是一個量子力學的波方程式。
場論中,對於自旋為零的場(純量場),拉格朗日量被寫成
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這裡依照量子場論的習慣選取了自然單位,將光速 和普朗克常數 都取作1。
代入歐拉-拉格朗日方程式 可直接得到克萊恩-戈登方程式。
從量子場論的觀點來看,以上推導過程都在古典場論的範圍之內,因此克萊恩-戈登方程式只是一個古典場的場方程式。
相對論量子力學中自由粒子只是一個理想化的概念,但形如克萊恩-戈登方程式這樣的波方程式仍然具有形式上的平面波解:
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其中
從克萊恩-戈登方程式得出的能量本徵值為
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因而克萊恩-戈登方程式的解包含了負能量。同時,由這個解導出相應的機率密度也不能保證是正值。這兩個問題使得克萊恩-戈登方程式在很長一段時間裡被認為是缺乏物理意義的。英國物理學家保羅·狄拉克為了確保機率密度具有物理意義建立了狄拉克方程式,但這個方程式仍然沒有避免出現負能量。
克萊恩-戈登方程式有行波解[1]
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Klein Gordon equation traveling wave plot4
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Klein Gordon equation traveling wave plot5
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Klein Gordon equation traveling wave plot6
- ^ 83.Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple p64-72 Springer