在點集拓撲學與歐幾里得空間中,凸集(Convex set)是一個點集合,其中每兩點之間的線段點都落在該點集合中。
在度量幾何中,琴生不等式(Jensen's inequality)為凸集給出一個最健全的解釋,而不必牽涉到二階導數:
簡單而言,就是 S {\displaystyle S} 中的任何兩點之間的直線段都屬於 S {\displaystyle S} 。因此,凸集是一個連通空間。
特殊凸集是特別給了名稱的凸集,它們可能是具有額外性質的凸集,或是在某種定義下的凸集(非一般定義中的凸集)。
若 S {\displaystyle S} 是凸集,對於任意 u 1 , u 2 , … , u r ∈ S {\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}\in S} ,及所有非負數 λ 1 , λ 2 , … , λ r {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}} 滿足 λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ r = 1 {\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{r}=1} ,都有 ∑ k = 1 r λ k u k ∈ S {\displaystyle \sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}\in S} 。這個向量稱為 u 1 , u 2 , … , u r {\displaystyle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}} 的凸組合。
對於非歐平面,可用測地線來取代在歐幾理德凸集的定義內直線段。