分圓體
在數論中,分圓體是在有理數體 中添加複數單位根進行擴張而得到的數體。將 次單位根 加入而得到的分圓體稱為 次分圓體,記作 。
由於與費馬最後定理的聯繫,分圓體在現代代數和數論的研究中扮演著重要的角色。正是因為庫默爾對這些數體上(特別是當 p為質數時)的算術的深入研究,特別是在相應整環上唯一分解定理的失效,使得庫默爾引入了理想數的概念,並證明了著名的庫默爾同餘。
性質
編輯次分圓體是多項式 的分裂體,因此是有理數體的伽羅瓦擴張體。這個擴張的次數: 等於 ,其中 是歐拉函數。 的所有伽羅瓦共軛是 ,其中 a 遍歷模 n的簡化剩餘系(所有與 n 互質的剩餘類)。同樣地, 次分圓體的伽羅瓦群同構於模 n 的乘法群 ,其元素為
與正多邊形的聯繫
編輯高斯最早在研究尺規作正多邊形問題時涉及到了分圓體的理論。這個幾何問題實際上可以被轉化為伽羅瓦理論下的敘述:對什麼樣的n,n次分圓體可以通過若干次的二次擴張得到?高斯發現正十七邊形是可以用尺規作出的。更一般地說,對於一個質數 p,正p邊形可以用尺規作出若且唯若 p 為費馬質數。
與費馬最後定理的聯繫
編輯研究費馬最後定理時,一個很自然的思路是將 分解為 的形式,其中的n 是一個奇質數。這樣得到的一次因式都是 n 次分圓體中的代數整數。如果在 n 次分圓體中算術基本定理成立,代數整數的質數分解是唯一的,那麼可以通過它來確定方程式是否有非平凡解。
然而,對於一般的 n,這個結論是錯誤的。但是,庫默爾找到了一個繞過這個困難的辦法。他引進了「理想數」的概念,作為對質數概念的改良。他將代數整數的質數分解不唯一的概念量化為類數:hp,並證明了如果 hp 不能被 p 整除(這樣的 p 被稱為正規質數),那麼費馬的猜想對於 n = p 是成立的。此外,他給出了庫默爾準則來判斷質數是否是正規的。運用這個準則,庫默爾檢定了100以下的質數,除了三個「不正規」的:37、59和67。
參見
編輯參考來源
編輯- Bryan Birch, "Cyclotomic fields and Kummer extensions", J.W.S. Cassels、A. Frohlich 編, Algebraic number theory, Academic Press, 1973. Chap.III, pp.45-93.
- Daniel A. Marcus, Number Fields, 第三版, Springer-Verlag, 1977
- Lawrence C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, 83. Springer-Verlag, New York, 1982. ISBN 0-387-90622-3
- Serge Lang, Cyclotomic Fields I and II, 第二版. Graduate Texts in Mathematics, 121. Springer-Verlag, New York, 1990. ISBN 0-387-96671-4