分布 (數學分析)

數學分析中,分布(distribution)是廣義函數的一種,由法國數學家洛朗·許瓦茲首先於二十世紀五十年代引入,因此又稱許瓦茲分布(Schwartz distribution)、許瓦茲廣義函數[1](Schwartz generalized function)。分布推廣了普通意義上的函數概念:對於普通意義上不可導甚至不連續的函數,可以具備分布意義上的導數。事實上,任意局部可積的函數都有分布意義上的弱導數。在偏微分方程式的研究中,常常使用分布來表示方程式的廣義解函數,因為很多時候傳統意義上的解函數不存在或難以求出。分布理論在物理學和工程學中都十分有用,因為在應用中常會出現解或初始條件是分布的微分方程式,例如初始條件可能是一個狄拉克δ分布。

廣義函數的概念最早由謝爾蓋·索伯列夫在1935年提出。1940年代末,許瓦茲等人開始建立分布理論,首次提出了一個系統清晰的廣義函數理論。

基本理念

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很多時候,函數是描述某個物件的性質的手段。傳統的函數是將輸入值和輸出值建立對應關係的映射,是從本質上描述物件性質的方法。分布的概念則源自物理學的發展。二十世紀初發展起來的量子力學理論,特別是不確定性原理的發現,使物理學家拋棄了從本質上確定地表述物件的想法,而是將物件的性質視作它在一定的測量手段下的表現。我們能夠獲得「某個粒子的位置」的資訊,是因為使用了某種測量的工具。物件的性質通過測量才得以表現。分布理論發展了這種概念,通過觀察某個函數 與其它函數的「相互作用」來刻畫這個函數。具體來說,我們觀察 和一群「測量函數」 之乘積的積分 。之所以使用積分作為「觀察」的方式,一方面是因為在積分和求導兩種數學分析的基本概念之間,(局部)可積分的函數比(局部)可導的函數要「多得多」;另一方面,則可以用物理上的測量方式解釋。測量某個物理量的時候,我們往往不要求(也無法做到)知道此物理量在某個精確時刻或某個精確位置上的值,而只能通過多次測量,知道它在某一小段時間段或某個小區域內的平均測量值。從實際的角度,這種平均值才是測量和使用函數的最常見方式。而積分則是這種「平均值」的數學表現形式。

分布理論的目的在於建立一種比一般的函數更廣泛的「廣義函數」,稱為分布,並能將微積分的常用結論運用到這類廣義函數上去。也就是說,分布理論建立的分布應當滿足幾個基本的要求:

  • 連續的函數屬於分布;
  • 可微、可積的函數對應的分布應該也能進行微分/求原函數操作,而且結果應該也是分布,並且應該對應於原函數的微分/原函數;
  • 基本的微積分法則適用於分布;
  • 存在適當的收斂定理,可以對分布進行極限操作。

對每一個實數值的「測試函數」 ,將它映射到積分 ,就定義了一個線性泛函。這個線性泛函稱為 對應的分布。積分 的存在性取決於函數  的乘積,所以對 要求越高,就能對越多的 定義對應的分布。分布理論中選取的「測試函數」的集合是支撐的函數空間D(R),也就是滿足以下兩個條件的R射到R函數的集合:

  1. 擁有任意階的導函數,並且導函數連續,
  2. 除了在某一個緊緻集合(一般可以簡化為一個有限區間)以外,函數的取值都是0.

一般來說,一個分布就定義為 D(R) 射到R的連續線性泛函。一個分布 (作用在「測試函數」 上)的值一般使用類似內積的符號記為 。當「測試函數」空間選為D(R)的時候,只要  局部可積,就能定義它對應的分布。一個函數對應的分布通常記為 ,以和  區分,而它的值就是:

 

對於機率分布函數 ,也可以將它定義為分布 。對給定的一個測試函數 ,可以定義分布 作用在 上的值是:  這樣定義下的 是線性的泛函,所以滿足分布的定義。

除了對普通的函數可以定義分布,對一些普通意義上無法定義的「函數」也能定義出相應的分布。例如0點上的狄拉克δ函數就能用分布方式定義為:

 

也就是說它對每一個函數的「效果」是取其0點上的值。

嚴格定義

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接下來,我們定義Rn中開集U上的實值分布。在細微的調整之後,我們可以定義相應的複值分布,也可以將 Rn 替換為任何(仿緊光滑流形

首先需要定義U上的檢定函數空間 D(U) (即所謂的「測試函數」),定義其上的拓撲和極限。D(U)上的所有連續線性泛函構成的空間就是分布空間。

檢定函數空間

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函數 : UR具有緊支撐集,若且唯若存在U的緊子集K,使得對任意 U\K 中的元素 ,都有 

定義D(U)為所有在某個緊支撐集上無窮可微的函數(也就是所謂的隆起函數)的集合,則這個集合是一個實向量空間。這個空間中的拓撲可以通過定義序列極限而定義。具體如下:

一列函數 收斂到某個 ,若且唯若其滿足以下兩條性質:
  1. 存在緊集 包含所有 的支撐集:
     
  2. 對任意多重指標 , 偏微分序列 均勻收斂 

在如此定義下的拓撲中,D(U)是一個完備局部凸的拓撲向量空間,且滿足海涅-鮑萊耳定理,但不是可度量的空間(不同胚於任何的度量空間)。而D(U)上的泛函 連續,若且唯若對任意收斂到零的 ,都有 

分布

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U上的分布定義為D(U)上的連續線性泛函。也就是說,如果一個實線性泛函 (或複線性泛函 )滿足連續性,即對D(U)中任意的收斂函數列 ,都有

 

那麼就稱此泛函為U上的一個分布。

另一個更具可操作性的定義是,如果D(U)上的一個實線性泛函 (或複線性泛函 )滿足以下的條件:

對任意的緊子集 ,都存在  ,使得對任意支撐集在 的檢定函數 ,都有
 

就稱之為U上的一個分布。如果存在的正整數 使得對任意的 ,都有 ,那麼最小的這樣的 稱為這個分布的階數(order),稱 為一個 階分布。

U上的分布集合記為D'(U),是D(U)的拓撲對偶空間。D'(U)中的元素 和D(U)中的元素 之間的對偶關係可以用尖括號表示:

 

在弱*拓撲下,D'(U)為一個局部凸的拓撲向量空間。其中,弱*收斂的定義為:D'(U)中序列 弱*收斂到 若且唯若對於任意的檢定函數 ,有

 

函數對應的分布

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一個局部可積函數 是指在U的任意緊子集上都勒貝格可積的函數。局部可積函數包括了所有的連續函數和所有的Lp可積函數。在以上定義的D(U)的拓撲中,每個局部可積的函數都對應著一個D(U)上的連續線性泛函,也就是D'(U)中的一個元素,記作 。線性泛函 作用在D(U)中任一個檢定函數 上的取值是:

 

一般約定,在不至於引起混淆的時候,可以將  等同起來。比如說以上的取值等式也可以記作:

 

可以證明,兩個局部可積函數  對應的分布相同,若且唯若它們幾乎處處相等。與函數的分布類似,U上的每個Radon測度 都有一個對應的分布 ,定義為:

 

與函數的對應分布一樣,測度對應的分布在不至於混淆的時候也可以和測度等同起來,比如將上式寫成 

可以注意到,檢定函數也是局部可積的,所以也有對應的分布。這些分布在D'(U)上是稠密的(對於以上定義的拓撲來說)。也就是說,任意一個分布 都是某個檢定函數(分布)序列 收斂的極限。對任意的檢定函數 ,都有:

 

參見

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參考來源

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拓展閱讀

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  1. ^ 存档副本. [2022-11-14]. (原始內容存檔於2022-11-14).