序理論中,分配並半格(英語:distributive join-semilattice)和分配交半格distributive meet-semilattice)是分配格半格的推廣。與分配格不同,分配並(交)半格不再是使用像分配律一樣的恆等式來定義,而通過恆等式定義實際上也是不可能做到的。[1]

定義

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對於並半格 (任兩元具有上確界 偏序集),以下條件等價,滿足此條件的並半格稱為分配並半格

  • 對於任意 ,如果 ,那麼存在  使得 
  •  序理想構成的並半格 分配格[2]:167, Lemma 184(iii)

對偶地可以定義分配交半格

性質

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在分配並半格中,任意兩個元素都有下界[2]:167, Lemma 184(ii)

分配格不同,分配並半格的不關於子代數封閉,從而不構成。其實,任何由並半格構成的都不能推廣分配格並半格,也就是不能使其對於的情形與分配格一致。[1]

對於 ,以下條件等價。

  • 並半格 是分配並半格。
  •  分配格

參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 Ertola-Biraben, Rodolfo C.; Esteva, Francesc; Godo, Lluís. On distributive join semilattices. Fazio, D.; Ledda, A.; Paoli, F. (編). Algebraic Perspectives on Substructural Logics. Trends in Logic 55. Cham: Springer. 2021. ISBN 978-3-030-52162-2. MR 4175062. Zbl 07326288. arXiv:1902.01656 . doi:10.1007/978-3-030-52163-9_3 (英語). 
  2. ^ 2.0 2.1 Grätzer, George. Lattice Theory: Foundation. Basel: Springer. 2011. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1 (英語).