加法反元素(additive inverse)又稱相反數opposite)、反數,其定義是對於任意數,存在相反數滿足其與(加法單位元素); 的加法反元素表示為

實數中,數的相反數,稱為其加法反元素;相對地,數倒數,則稱為其乘法反元素

一般定義

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設「+」為一個交換性二元運算,即對於所有 ,  ,  。若該集合中存在一個元素 ,使得對於所有 ,  ,則此元素是唯一的。如果對於一個給定的 ,存在一個 使得 ,則稱  的加法反元素。

特殊情況

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定義

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若「+」滿足結合律,則任意數的加法反元素是唯一的。

證明

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反證法: 設 有兩個相異的加法反元素  
  的關係。
 
 
產生矛盾證訖

參考文獻

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