加法反元素(additive inverse)又稱相反數(opposite)、反數,其定義是對於任意數 a {\displaystyle a} ,存在相反數滿足其與 a {\displaystyle a} 的和為零(加法單位元素); a {\displaystyle a} 的加法反元素表示為 − a {\displaystyle -a} 。
在實數中,數 a {\displaystyle a} 的相反數 − a {\displaystyle -a} ,稱為其加法反元素;相對地,數 a {\displaystyle a} 的倒數 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}} 或 a − 1 {\displaystyle a^{-1}} ,則稱為其乘法反元素。
設「+」為一個交換性的二元運算,即對於所有 x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} , x + y = y + x {\displaystyle x+y=y+x} 。若該集合中存在一個元素 0 {\displaystyle 0} ,使得對於所有 x {\displaystyle x} , x + 0 = 0 + x = x {\displaystyle x+0=0+x=x} ,則此元素是唯一的。如果對於一個給定的 x {\displaystyle x} ,存在一個 x ′ {\displaystyle x'} 使得 x + x ′ = x ′ + x = 0 {\displaystyle x+x'=x'+x=0} ,則稱 x ′ {\displaystyle x'} 是 x {\displaystyle x} 的加法反元素。
若「+」滿足結合律,則任意數的加法反元素是唯一的。
反證法: 設 x {\displaystyle x} 有兩個相異的加法反元素 x 1 {\displaystyle x_{1}} 、 x 2 {\displaystyle x_{2}} 有 x = x + 0 {\displaystyle x=x+0} 的關係。 ⇒ 0 = x + x 1 = x + x 2 {\displaystyle 0=x+x_{1}=x+x_{2}} ⇒ x 1 = x 2 {\displaystyle x_{1}=x_{2}} 產生矛盾,證訖。