單位群

在環中，所有可逆元素叫環的單位，所有單位對乘法可構成一個乘法群，叫環的單位群。對環（域）來說，單位群所有元素，和環（域）的所有元素有多少相同，有多少不同，可由環的素理想，分式理想，理想類群來度量。

整數環Z的單位只有1，-1，單位群同構於循環群C₂。模n 的剩餘類環Z_n單位群記為U（Z_n）。僅有U（Z₃），U（Z₄），U（Z₆），U（Z₈），U（Z₁₂），U（Z₂₄）非單位元的階均為2；非單位元的階均為其他素數p（p > 2）的單位群不存在。

單位

算術基本定理說明Z環的乘法結構為：每一個非零整數可以表為唯一的若干素數次冪和±1乘。這對O_K的理想的唯一分解對一部分理想正確，不能全正確是因為±1，因為整數1和-1是Z環的可逆元素（即單位，兩者組成一個乘法群叫單位群，記為Z^×，是個2階循環群）。更普遍的是，在O_K的形式下全部素元乘法可逆組成一個乘法群，記為O^×，群素元稱為O_K的單位，這個群比2階循環群Z×階大。由狄利克雷單位定理可得：單位群是交換群。更確切的有伽羅瓦模形式：

O_K $\simeq$ Z^⊕r⊕（有限循環群）。

有限循環群即為K的單位群O^×。[1] O_K單元群的階大小，O_K的格結構，類數公式可以求出。

例子

由在線GNU項目sagemath.org可容易看出2次域單位的判別式、類數、因子分解等各種情況。

Q7:=QuadraticField(-11);Q7;

O7:=MaximalOrder(Q7);O7;

Discriminant(Q7) ;

ClassGroup(Q7);

a:=O7!5;a;

aa:=O7!500;aa;

Factorization(a);

Factorization(aa);

Q17:=QuadraticField(17);Q17;

FundamentalUnit(Q17);

Discriminant(Q17) ;

ClassGroup(Q17);

Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 + 11 over the Rational Field

Maximal Order of Q7

-11

Abelian Group of order 1

Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of O7

5

500

[ <$.2 + 1, 1>, <-$.2 + 2, 1> ]

<-1, 0>

[ <2, 2>, <$.2 + 1, 3>, <-$.2 + 2, 3> ]

<-1, 0>

Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 17 over the Rational Field

-Q17.1 + 4

17

Abelian Group of order 1

Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of Maximal Order of Q17

參考連結

• 居騰霞, 王立周. 模n的剩余类环的单位群U(Z_n). 南通大學學報(自然科學版). 2011年4月 [2012-04-21]. （原始內容存檔於2016-03-04）.