哈密頓向量場

在數學與物理中，哈密頓向量場是辛流形上一個向量場，定義在任何能量函數或哈密頓函數上。以物理學家和數學家威廉·盧雲·哈密頓命名。哈密頓向量場是經典力學中的哈密頓方程的幾何表現形式，哈密頓向量場的積分曲線表示哈密頓形式的運動方程的解。由哈密頓向量場生成的流是辛流形的微分同胚，在物理中稱為典範變換，在數學中稱為（哈密頓）辛同胚。

哈密頓向量場可以更一般地定義在任何泊松流形上。對應於流形上的函數 f 與 g 的兩個哈密頓向量場的李括號也是一個哈密頓向量場，其哈密頓函數由 g 與 f 的泊松括號給出。

定義

假設 (M,ω) 是一個辛流形。因為辛形式 ω 非退化，誘導了切叢 $TM$ 與餘切叢 $T^{*}M$ 的一個線性同構

$\omega :TM\to T^{*}M$

以及逆

$\Omega :T^{*}M\to TM,\quad \Omega =\omega ^{-1}\ .$

從而，流形 M 上的1-形式可以與向量場等價起來，故任何可微函數 $H:M\to \mathbb {R}$ 確定了惟一的向量場 X_H = Ω(dH)，稱為哈密頓函數 H 的哈密頓向量場。即對 M 上任何向量場 Y，等式

$\mathrm {d} H(Y)=\omega (X_{H},Y)\ ,$

一定成立。

注：一些作者定義哈密頓向量場為相反的符號；需注意物理與數學著作的不同習慣。

例子

假設 M 是一個 2n 維辛流形。則由達布定理，我們在局部總可以取 M 的一個典範坐標 $(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})$，在這個坐標系下辛形式表示為

$\omega =\sum _{i}\mathrm {d} q^{i}\wedge \mathrm {d} p_{i}.$

則關於哈密頓函數 H 的哈密頓向量場具有形式

$X_{H}=\left({\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\right)=\Omega \,\mathrm {d} H\ ,$

這裡 Ω 是一個 2n × 2n 矩陣

$\Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}\ .$

假設 M = R²ⁿ 是 2n 維具有（整體）典範坐標的辛向量空間。

• 如果 $H=p_{i}$ 則 $X_{H}=\partial /\partial q^{i}\ ;$
• 如果 $H=q^{i}$ 則 $X_{H}=-\partial /\partial p^{i}\ ;$
• 如果 $H=1/2\sum (p_{i})^{2}$ 則 $X_{H}=\sum p_{i}\partial /\partial q^{i}\ ;$
• 如果 $H=1/2\sum a_{ij}q^{i}q^{j},a_{ij}=a_{ji}$ 則 $X_{H}=-\sum a_{ij}p_{i}\partial /\partial q^{j}\ .$

性質

• 映射 $f\mapsto X_{f}$ 線性的，所以兩個哈密頓函數之和變為相應的哈密頓向量場之和。

• 假設 $(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})$ 是 M 上的典範坐標。則曲線 $\gamma (t)=(q(t),p(t))$ 是哈密頓向量場 X_H 的積分曲線若且唯若它是哈密頓方程的一個解：

${\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}\ .$

• 哈密頓函數 H 在積分曲線上是常數，這就是 $H(\gamma (t))$ 與時間 t 無關。這個性質對應於哈密頓力學中的能量守恆。

• 更一般地，如果兩個函數 F 與 H 的泊松括號為零（見下），則 F 沿著 H 的積分曲線為常數；類似地 H 沿著 F 的積分曲線是常數。這個事實是諾特定理背後的數學原理。

• 辛形式 $\omega$ 在哈密頓流下不變；或等價地，李導數 ${\mathcal {L}}_{X_{H}}\omega =(\iota _{X_{f}}\circ d+d\circ \iota _{X_{f}})\omega =d\circ df=0\ .$ 這裡 $\iota$ 是內乘，用到了李導數的嘉當公式。

泊松括號

哈密頓向量場的概念導致了辛流形 M 上的可微函數的一個斜對稱雙線性算子，這就是泊松括號，由如下公式定義

$\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=df(X_{g})={\mathcal {L}}_{X_{g}}f\ ,$

這裡 ${\mathcal {L}}_{X}$ 表示沿著向量場 X 的李導數。此外，我們可以驗證有恆等式：

$X_{\{f,g\}}=-[X_{f},X_{g}],$

這裡右邊表示哈密頓函數 g 與 g 對應的哈密頓向量場的李括號。事實上有：

${\begin{aligned}&\iota _{[X_{f},X_{g}]}\omega \\=&({\mathcal {L}}_{X_{f}}\circ \iota _{X_{g}}-\iota _{X_{g}}\circ {\mathcal {L}}_{X_{f}})\omega \\=&{\mathcal {L}}_{X_{f}}\circ \iota _{X_{g}}\omega \\=&(\iota _{X_{f}}\circ d+d\circ \iota _{X_{f}})dg\\=&d(\iota _{X_{f}})dg)\\=&-d\{f,g\}\\\end{aligned}}$

作為一個推論，泊松括號滿足雅可比恆等式。

$\{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0\ ,$

這意味著 M 上可微函數組成的向量空間，賦予泊松括號，是 R 上的一個李代數，且映射 $f\mapsto X_{f}$ 是一個李代數反同態，其核由局部常值函數組成（如果 M 連通則為常數）。

參考文獻

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. 1978. ISBN 978-0-821-84438-0.  See section 3.2.
• Arnol'd, V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Berlin etc: Springer. 1997. ISBN 0-387-96890-3. 
• Frankel, Theodore. The Geometry of Physics. Cambridge: Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-38753-1. 
• McDuff, Dusa; Salamon, D. Introduction to Symplectic Topology. Oxford Mathematical Monographs. 1998. ISBN 0-19-850451-9.