天元術中國古代的代數學方法之一種,是中國古代建立高次方程的方法。1248年,金代數學家李冶在其著作《測圓海鏡》、《益古演段》,以及元代數學家朱世傑的《算學啟蒙下卷》《四元玉鑒》,都系統地介紹了用天元術建立二次方程。元代數學家王恂也廣泛使用天元術解高次方程。例如在授時曆中「問半弧背一度下,黃赤道矢弧若干」一題,王恂用天元術建立和求解四次多項式方程 [1]

其中「天元」相當於現在的未知數,「立天元一為某某」相當於現代數學中的「設某某為」,用天、地表示方程的正次和負次冪,根據問題設未知數,列出兩個相等的多項式,進行多項式運算,最後列出有待求解的方程。

歷史

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李冶益古演段》中的天元術
 
朱世傑算學啟蒙》中的天元術
 
偉烈亞力《中國數學科學札記》論天元術

在中國數學史上最早創立天元概念的是北宋平陽蔣周所著的《益古集》,隨後有博陸李文一撰《照膽》,鹿泉石信道撰《鈐經》,平水劉汝諧撰《如積釋鎖》,處州李思聰《洞淵九容》後人才知道有天元。

李冶在東平獲得劉汝諧撰《如積釋鎖》,書中用十九個單字表示未知數的各個  的冪:

仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼;其中立天元在上。

後來有太原彭澤彥出,反其道而行,以天元在下[2]

《益古集》、《照膽》、《鈐經》、《如積釋鎖》、《洞淵九容》等早期天元術著作今已失傳。李冶在《測圓海鏡》中使用天元在上的天元術。後來李冶又著《益古演段》,採用天元在下的次序。朱世傑四元玉鑒》和《算學啟蒙》卷下也採用天元在下的次序。

例子

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a 勾 b 股 c 弦

在天元術中,一次項係數旁記一「元」字(或在常數項旁記一「太」字)。

歷史上有兩種次序:
《測圓海鏡》式

「元」以上的係數表示各正次冪,「元」以下的係數表示常數項和各負次冪)。

例:李冶《測圓海鏡》第二卷第十四問方程: 

 
   
     
《益古演段》式

「元」以下的係數表示各正次冪,「元」以上的係數表示常數和各負次冪

例一:

李冶益古演段》卷中第三十六問中的方程=  用天元術表示為:

     
    元(x)
  項)

其中「太」是常數項,算籌  打斜線表示該項常數為負數。 「元」相當於未知數x

例二:

朱世傑算學啟蒙》下卷第四問

將代數方程

 

表示為天元方程:

    
  
 

例三:

朱世傑《四元玉鑒》《一氣混元》

今有黃方乘直積得二十四步,只雲股弦和九步,問勾幾何?
答曰:三步。
草曰:立天元一為勾,

根據條件 黃方乘直積得二十四步

黃方: [3]
直積: 
 
此外:股弦和九步

   (立天元一為勾) 由此得方程

 

    
 
   
  
 
 

解之,得勾=3

天元術與阿拉伯代數之差異

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天元術與阿拉伯代數雖功用相同,但方法迥異。天元術可解高次方程,阿拉伯代數只能解一次,二次方程。天元術解根只求正根,但阿拉伯代數解二次方程得二根。[4]

參見

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益古演段》 《算學啟蒙》 《四元玉鑒

參考文獻

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  1. ^ 吳文俊主編 《中數學史大系》 第六卷 第三編 第三節 《解高次方程》 186-193頁
  2. ^ 吳文俊主編 《[[中國數學史大系 (吳文俊)|]]》 第六卷 35-43頁
  3. ^ 朱世傑原著 李兆華校正 《四元玉鑒》 148頁 科學出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6
  4. ^ 錢寶琮 《金元之際數學之發展》《李儼·錢寶琮科學史全集》卷9 340頁