夾擠定理

夾擠定理（英語：Squeeze theorem），又稱夾逼定理、夾極限定理、三明治定理、逼近定理、迫斂定理，是有關函數的極限的數學定理。指出若有兩個函數在某點的極限相同，且有第三個函數的值在這兩個函數之間，則第三個函數在該點的極限也相同。

定義

設$I$為包含某點$a$的區間，$f,g,h$為定義在$I$上，可能不包含a點的函數。若對於所有屬於$I$而不等於$a$的$x$，有：

• $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$
• $\lim _{x\to a}g(x)=\lim _{x\to a}h(x)=L$

則$\lim _{x\to a}f(x)=L$。

$g(x)$和$h(x)$分別稱為$f(x)$的下界和上界。

$a$若在$I$的端點，上面的極限是左極限或右極限。 對於$x\to \infty$，這個定理還是可用的。

例子

有關正弦函數的極限

對於 $\lim _{x\to 0}x^{2}\sin {\frac {1}{x}}$，

在任何包含0的區間上，除了$x=0$，$f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}$均有定義。

對於實數值，正弦函數的絕對值不大於1，因此$f(x)$的絕對值也不大於$x^{2}$。設$g(x)=-x^{2}$, $h(x)=x^{2}$：

$-1\leq \sin {\frac {1}{x}}\leq 1$

$-x^{2}\leq x^{2}\sin {\frac {1}{x}}\leq x^{2}$

$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$

$\lim _{x\to 0}\ g(x)=\lim _{x\to 0}\ h(x)=0$，根據夾擠定理

$\lim _{x\to 0}f(x)=0$。

對於 $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$，

首先用幾何方法證明：若$0<x<{\frac {\pi }{2}}$，$\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1$。

稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。$C$在$OD$上，使得$AC$垂直$OD$。過$A$作單位圓的切線，與$OD$的延長線交於$E$。

由定義可得$x=\angle AOD=arcAD$，$\tan x=AE$。

$AC<AD<arcAD$

$\sin x<x$

${\frac {\sin x}{x}}<1$

$arcAD<AE$

$x<\tan x$

$\cos x<{\frac {\sin x}{x}}$

因為$\lim _{x\to 0^{+}}\cos x=1$，根據夾擠定理

$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\sin x}{x}}=1$。

另一邊的極限可用這個結果求出。

高斯函數

高斯函數的積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。 一般高斯函數的積分是$I(a)=\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}\,dx$，現在要求的是$I(\infty )=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx$。

被積函數對於y軸是對稱的，因此$I(\infty )$是被積函數對於所有實數的積分的一半。

$(2I)^{2}=\left[2\int _{0}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\left[\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx\right]^{2}=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy$

這個二重積分在一個$(-a,-a),(-a,a),(a,-a),(a,a)$的正方形內。它比其內切圓大，比外接圓小。這些可用極坐標表示：

$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta \leq (2I)^{2}\leq \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta$

$\pi (1-e^{-a^{2}})\leq (2I)^{2}\leq \pi (1-e^{-2a^{2}})$

$\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right)=\pi \vdash [2I(\infty )]^{2}=\pi$

$\lim _{a\to \infty }(2I)^{2}=\pi$

$I(\infty )={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}$

證明

極限為0的情況

若$\forall x\in \mathbb {R}$，$g(x)=0$，而且$\lim _{x\to a}h(x)=0$。

設$\varepsilon >0$，根據函數的極限的定義，存在$\delta >0$使得：若$0<|x-a|<\delta$，則$|h(x)|<\varepsilon$。

由於 $0=g(x)\leq f(x)\leq h(x)$，故$|f(x)|\leq |h(x)|$。

若 $0<|x-a|<\delta$，則$|f(x)|\leq |h(x)|<\varepsilon$。於是，$\lim _{x\to a}f(x)=0$。

一般情況

$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$

$0\leq f(x)-g(x)\leq h(x)-g(x)$

當$x\to a$：

$h(x)-g(x)\to L-L=0$

根據上面已證的特殊情況，可知$f(x)-g(x)\to 0$。

$f(x)=[f(x)-g(x)]+g(x)\to 0+L=L$。