態疊加原理
在量子力學裏,態疊加原理(superposition principle)表明,假若一個量子系統的量子態可以是幾種不同量子態中的任意一種,則它們的歸一化線性組合也可以是其量子態。稱這線性組合為「疊加態」。假設組成疊加態的幾種量子態相互正交,則這量子系統處於其中任意量子態的機率是對應權值的絕對值平方。[1]:316ff
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從數學表述,態疊加原理是薛丁格方程式的解所具有的性質。由於薛丁格方程式是個線性方程式,任意幾個解的線性組合也是解。這些形成線性組合(稱為「疊加態」)的解時常會被設定為相互正交(稱為「基底態」),例如氫原子的電子能級態;換句話說,這幾個基底態彼此之間不會出現重疊。這樣,對於疊加態測量任意可觀察量所得到的期望值,是對於每一個基底態測量同樣可觀察量所得到的期望值,乘以疊加態處於對應基底態的機率之後,所有乘積的總和。
更具體地說明,假設對於某量子系統測量可觀察量,而可觀察量的本徵態、分別擁有本徵值、,則根據薛丁格方程式的線性關係,疊加態也可以是這量子系統的量子態;其中,、分別為疊加態處於本徵態、的機率幅。假設對這疊加態系統測量可觀察量,則測量獲得數值是或的機率分別為、,期望值為。
舉一個可直接觀察到量子疊加的實例,在雙縫實驗裏,可以觀察到通過兩條狹縫的光子相互干涉,造成了顯示於偵測屏障的明亮條紋和黑暗條紋,這就是雙縫實驗著名的干涉圖樣。
理論
編輯在數學裏,疊加原理表明,線性方程式的任意幾個解所組成的線性組合也是這方程式的解。由於薛丁格方程式是線性方程式,疊加原理也適用於量子力學,在量子力學裏稱為態疊加原理。假設某量子系統的量子態可以是 或 ,這些量子態都滿足描述這量子系統物理行為的薛丁格方程式。則這量子系的量子態也可以是它們的線性組合 ,也滿足同樣的薛丁格方程式;其中, 、 是複值係數,為了歸一化 ,必須讓 。
假設 為實數,則雖然 與 標記同樣的量子態,他們並無法相互替換。例如, 、 分別標記兩種不同的量子態。但是, 和 都標記同一個量子態。因此可以這樣說,整體的相位因子並不具有物理意義,但相對的相位因子具有重要的物理意義。這種相位因子固定不變的量子疊加稱為「相干量子疊加」。[1]:317
電子自旋範例
編輯設想自旋為 的電子,它擁有兩種相互正交的自旋本徵態,上旋態 與下旋態 ,它們的量子疊加可以用來表示量子位元:
- ;
其中, 、 分別是複值係數,為了歸一化 ,必須讓 。
這是最一般的量子態。係數 、 分別給定電子處於上旋態或下旋態的機率:
- 、
- 。
總機率應該等於1: 。
這電子也可能處於這兩個量子態的疊加態:
- 。
電子處於上旋態或下旋態的機率分別為
- 、
- 。
再次注意到總機率應該等於1:
- 。
非相對論性自由粒子案例
編輯描述一個非相對論性自由粒子的含時薛丁格方程式為[1]:331-336
- ;
其中, 是約化普朗克常數, 是粒子的波函數, 是粒子的位置, 是時間。
這薛丁格方程式有一個平面波解:
- ;
代入薛丁格方程式,這兩個變數必須遵守關係式
- 。
由於粒子存在的機率等於1,波函數 必須歸一化,才能夠表達出正確的物理意義。對於一般的自由粒子而言,這不是問題。因為,自由粒子的波函數,在位置或動量方面,都是局部性的。在量子力學裏,一個自由粒子的動量與能量不必須擁有特定的值。自由粒子的波函數可以表示為很多平面波的量子疊加:
- ;
其中,積分區域 是 -空間。
為了方便計算,只思考一維空間,
- ;
其中,振幅 是量子疊加的係數函數。
逆反過來,係數函數表示為
- ;
其中, 是在時間 的波函數。
所以,知道在時間 的波函數 ,通過傅立葉變換,可以推導出在任何時間的波函數 。
參見
編輯參考文獻
編輯- ^ 1.0 1.1 1.2 French, Anthony, An Introduction to Quantum Physics, W. W. Norton, Inc., 1978, ISBN 978-0-393-09106-9
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