請注意我們將全程使用到愛因斯坦取和原則。當用到座標表示,x0代表時間,其他座標項x1, x2及x3則為剩下的空間分量。
應力-能量張量為一個二階張量 ,給出四維動量或4-動量之a分量通過一座標為常數xb之表面的通量。
另外要注意的是應力-能量張量是對稱(當自旋張量為零時),亦即
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若自旋張量S非零,則
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此處舉出一些特例:
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代表能量密度。
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代表能量通過xi表面之通量,等同於
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第i 動量之密度。
分量
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代表i 動量通過xj表面之通量。其中較特別的是:
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代表一個類似壓力與張應力的物理量——正向應力(normal stress),而
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代表剪應力(shear stress)。
提醒:在固態物理與流體力學中,應力張量所指為應力-能量張量於共動參考系(comoving frame of reference)的空間分量。換句話說,工程學中的應力-能量張量與此處由動量對流項(momentum convective term)表示的應力-能量張量有所差異。
作為諾特流(Noether current)
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應力-能量張量滿足連續性方程式(continuity equation)
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此一物理量
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是對一類空切面積分,得出能量-動量向量。分量 因此可以詮釋為(非重力的)能量與動量之局域密度,而連續性方程式的第一分量
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則單純是能量守恆的表述。空間分量 (i, j = 1, 2, 3)則對應到局域非重力的應力分量,其中包括了壓力。此一張量為與時空移動相應的守恆諾特流(Noether current)。
上面所給的關係並不唯一決定此張量。在廣義相對論中,對稱形式的張量,也就是額外滿足
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的關係的張量成為時空曲率的源,並且是與規範變換(gauge transformation)相應的流密度(current density),在此是以座標變換為例。若有扭率(torsion),則此張量就不再是對稱的。這對應到非零自旋張量的例子。參見愛因斯坦-嘉當重力。
在廣義相對論中,平直時空所用的偏導數(偏微分,partial derivative)修改為協變導數(covariant derivative)。這表示連續性方程式中用張量表示的能量和動量不是絕對地守恆。在牛頓重力的古典極限,這一點有一個簡單的解釋:與重力位能互相交換的能量,它沒有包含在能動張量中,而動量是通過場傳遞到其他物體。然而在廣義相對論中,無法定義對應「重力場」能量密度與動量密度的物理量;任何意圖要定義這些密度的膺張量(pseudo-tensor)均可以透過一個座標轉換使它們局域地消失為零。一般情況下,對於應力─能量張量只是部分的"協變守恆",我們必須感到心滿意足。
在彎曲時空中,一般而言類空積分依賴於類空截面。事實上在一般的彎曲時空中是無法定義一個全局的能量─動量張量(原文誤為'vector')。
在廣義相對論中,應力-能量張量主要出現在愛因斯坦場方程式的研究題材中,方程式常寫為:
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其中 為里奇張量, 為里奇純量(對里奇張量做張量縮併(tensor contraction)而得),以及 為宇宙重力常數(universal gravitational constant).
在狹義相對論中,質量為m的無交互作用粒子的應力-能量張量為:
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其中δ是狄拉克δ函數, 是速度向量:
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對於處於熱平衡狀態下的流體,應力-能量張量具有一個特別簡單的形式:
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其中 是質量-能量密度(牛頓每立方米), 是流體靜壓力(牛頓每平方米), 是流體的四維速度, 是度量張量的逆。
四維速度滿足:
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在隨流體一起移動的慣性參考系中,四維速度為:
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度量張量的倒數為:
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應力-能量張量是一個對角矩陣:
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一個無源電磁場的應力-能量張量為:
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其中 是電磁張量。
滿足克萊因-戈爾登方程式的純量場 的應力-能量張量為:
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存在有一些互不相等的應力-能量張量。
其為與時空平移相關的諾特流。
應力-能量張量在廣義相對論中僅能以動態度規來定義。其定義成一個泛函導數(functional derivative)
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其中Smatter是作用量的非重力部份,為對稱的且有規範不變性。
Belinfante-Rosenfeld應力-能量張量
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贗張量的例子有愛因斯坦贗張量與藍道-里夫須茲贗張量(Landau-Lifschitz pseudotensor)。