時域有限差分

時域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain method，縮寫：FDTD），又稱余氏算法（Yee's method），是計算電磁學領域的一種常用的數值方法，屬於有限差分法的一個特例，能得出電磁場對時間與空間偏導數的近似值。在時間上，它對微分形式的麥克斯韋方程組應用中心差分，將其從偏微分方程轉化為差分方程。在空間上，它將空間離散化為電場與磁場互相交錯的兩套網格，稱為余氏網格（Yee's cell）。最後進行差分運算，解出電磁場在各個位置、各個時刻的數值。這個過程稱為時間步進（time marching），又稱蛙跳法（leapfrog）：首先根據空間一個區域的磁場計算其下一時刻的電場，然後根據這個區域的電場計算其下一時刻的磁場。如此反覆，直到得出欲求的瞬態或穩態電磁場為止。

時域有限差分法由美籍華裔數學家余樹江在1966年在《IEEE天線與傳播期刊》發布的論文《麥克斯韋方程組在各向同性介質中的初值與邊值問題的數值解》中提出，又被艾倫·塔夫洛夫（Allen Taflove）等人繼續研發。隨著電子計算機技術的發展，FDTD方法得到了長足的發展。它使物理學家與工程師能直接用計算機模擬電磁波在空間中的傳播與演化，在計算電磁學、光學、微波無線電、電子設計自動化中有著重要應用。除了電磁波，本算法也可以應用在聲波上，用於室內聲學等仿真。

簡介

圖中是FDTD使用的標準笛卡爾網格（又稱余氏網格），以及電場與磁場在其中的分布。在三維空間中，每個網格是一個立方體素。電場矢量的三個分量構成立方體的邊緣，磁場矢量的三個分量構成穿過立方體面的法線，整個空間包含無數個這樣的網格。將電容率與磁導率賦予給空間中代表電場與磁場的網格，就能模擬電磁波與介質的相互作用。

觀察麥克斯韋方程組，可以發現電場隨時間的變化（時間導數）取決於磁場在空間中的變化（旋度）。這就是時域有限差分法的基本原理：在空間的某一處，下一時刻計算的新電場取決於原電場以及原磁場在空間中的旋度。磁場的計算也同理：在空間的某一處，下一時刻計算的新磁場取決於原磁場以及原電場在空間中的旋度。將電場與磁場交替更新就得到了一個時間步進的過程，可以視作對連續的電磁場進行採樣。

時域有限差分法在空間中的基本計算單元是余氏網格（Yee's cell），通常為笛卡爾網格。電場與磁場各有一套網格，互相嵌套。由於電場與磁場在彼此之間，簡化了兩者之間的相互計算。

參見

• 余樹江