普洛尼克數

在數學中，普洛尼克數（pronic number），也叫矩形數（oblong number），是兩個連續非負整數積，即 $n\times (n+1)$ 。第n個普洛尼克數都是n的三角形數的兩倍。開頭的幾個普洛尼克數是：

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550, ...（OEIS數列A002378）

性質

普洛尼克數也可以表達成 $n^{2}+n$ 。
對於第n個普洛尼克數也正好等於頭n個偶數的和，也是第n個三角形數的兩倍。^[1]
普洛尼克數不可能是奇數，因為它必須為一偶數與奇數之積，而且是三角形數的兩倍。^[1]
普洛尼克數的數字根必為2、3、6、9。^{[註 1]}
普洛尼克數的末位數只可能是0、2、6。^{[註 2]}
除了0以外，普洛尼克數也不可能是平方數^{[註 3]}。
除了0以外，普洛尼克數也不可能是次方數。^{[來源請求]}^{[查證請求]}^{[原創研究？]}
除了6以外，普洛尼克數也不可能是完全數。^{[來源請求]}^{[查證請求]}^{[原創研究？]}
一個非負整數是普洛尼克數，若且唯若此數的4倍加1是平方數。^{[註 4]}
連續兩個普洛尼克數的平均是平方數。^{[註 5]}
顯然，2是唯一的一個素普洛尼克數，也是費氏數列中唯二的普洛尼克數（另一個是0）^[2]。

特殊的普洛尼克數

同時為普洛尼克數及三角形數的數（不定方程式 $x(x+1)={\frac {y(y+1)}{2}}$ ）：最小的幾個為0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……^[3]^[4]，對應的 $x$ 值分別為0, 2, 14, 84, 492, 2870,……（OEIS數列A053141），對應的 $y$ 值分別為0, 3, 20, 119, 696, 4059,……（OEIS數列A001652）。

註釋

^
若n≡0 (mod 9)，則n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)
- 若n≡1 (mod 9)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)
- 若n≡2 (mod 9)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)
- 若n≡3 (mod 9)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)
- 若n≡4 (mod 9)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)
- 若n≡5 (mod 9)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)
- 若n≡6 (mod 9)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)
- 若n≡7 (mod 9)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)
- 若n≡8 (mod 9)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)
故得證。
^
若n≡0 (mod 10)，則n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)
- 若n≡1 (mod 10)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)
- 若n≡2 (mod 10)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)
- 若n≡3 (mod 10)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)
- 若n≡4 (mod 10)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)
- 若n≡5 (mod 10)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)
- 若n≡6 (mod 10)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)
- 若n≡7 (mod 10)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)
- 若n≡8 (mod 10)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)
- 若n≡9 (mod 10)，則n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)
故得證。
^ 因為n與(n+1)差1，所以兩數互質，故若n×(n+1)為平方數，則n與(n+1)也皆為平方數，2個平方數差1，則必為0與1，因此唯一的普洛尼克數兼平方數為0=0×1。
^ 普洛尼克數 n(n+1) 的4倍加1是4n²+4n+1 = (2n+1)²
^ 兩個相鄰的普洛尼克數 n(n+1) 和 (n+1)(n+2) 的平均是 (2n+2)(n+1)/2 = (n+1)²

參考資料

^ ^1.0 ^1.1 Knorr, Wilbur Richard（英語：Wilbur Knorr）, The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co.: 144–150, 1975 [2021-03-18], ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300, （原始內容存檔於2016-05-08） .
^ McDaniel, Wayne L., Pronic Fibonacci numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1998, 36 (1): 56–59 [2017-05-26], MR 1605341, （原始內容存檔 (PDF)於2020-09-29）
^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ pronic numbers. NUMBERS APLENTY. [2021-02-05]. （原始內容存檔於2021-02-25）.

[2] 若n≡0 (mod 9)，則n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)
若n≡1 (mod 9)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)

若n≡2 (mod 9)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)

若n≡3 (mod 9)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)

若n≡4 (mod 9)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)

若n≡5 (mod 9)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)

若n≡6 (mod 9)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)

若n≡7 (mod 9)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)

若n≡8 (mod 9)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)
故得證。

[2] 若n≡1 (mod 9)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)

[3] 若n≡2 (mod 9)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)

[4] 若n≡3 (mod 9)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)

[5] 若n≡4 (mod 9)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)

[6] 若n≡5 (mod 9)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)

[7] 若n≡6 (mod 9)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)

[8] 若n≡7 (mod 9)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)

[9] 若n≡8 (mod 9)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)

[3] 若n≡0 (mod 10)，則n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)
若n≡1 (mod 10)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)

若n≡2 (mod 10)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)

若n≡3 (mod 10)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)

若n≡4 (mod 10)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)

若n≡5 (mod 10)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)

若n≡6 (mod 10)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)

若n≡7 (mod 10)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)

若n≡8 (mod 10)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)

若n≡9 (mod 10)，則n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)
故得證。

[11] 若n≡1 (mod 10)，則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)

[12] 若n≡2 (mod 10)，則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)

[13] 若n≡3 (mod 10)，則n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)

[14] 若n≡4 (mod 10)，則n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)

[15] 若n≡5 (mod 10)，則n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)

[16] 若n≡6 (mod 10)，則n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)

[17] 若n≡7 (mod 10)，則n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)

[18] 若n≡8 (mod 10)，則n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)

[19] 若n≡9 (mod 10)，則n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)

[4] 因為n與(n+1)差1，所以兩數互質，故若n×(n+1)為平方數，則n與(n+1)也皆為平方數，2個平方數差1，則必為0與1，因此唯一的普洛尼克數兼平方數為0=0×1。

[5] 普洛尼克數 n(n+1) 的4倍加1是4n²+4n+1 = (2n+1)²

[6] 兩個相鄰的普洛尼克數 n(n+1) 和 (n+1)(n+2) 的平均是 (2n+2)(n+1)/2 = (n+1)²

[knorr-1] 1.0 ^1.1 Knorr, Wilbur Richard（英語：Wilbur Knorr）, The evolution of the Euclidean elements, Dordrecht-Boston, Mass.: D. Reidel Publishing Co.: 144–150, 1975 [2021-03-18], ISBN 90-277-0509-7, MR 0472300, （原始內容存檔於2016-05-08） .

[7] McDaniel, Wayne L., Pronic Fibonacci numbers (PDF), Fibonacci Quarterly, 1998, 36 (1): 56–59 [2017-05-26], MR 1605341, （原始內容存檔 (PDF)於2020-09-29）

[8] Sloane, N.J.A. (編). Sequence A029549 (Triangular numbers that are also pronic numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[9] ronic numbers. NUMBERS APLENTY. [2021-02-05]. （原始內容存檔於2021-02-25）.

[1]

[註 1]

[註 2]

[註 3]

[註 4]

[註 5]

[2]

[3]

[4]