有序體
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2021年4月16日) |
定義
編輯一個滿足下面兩個條件的、擁有全序關係 的體 被定義為有序體:對於任何 中的元素 以下兩個條件獲得滿足:
- 若 ,則 。
- 若 且 ,則 。
大於0的元素被稱為是正的,小於0的元素被稱為是負的。
特性
編輯由以上定義可以直接推導出以下特性( 是 的元素):
- 一個正的元素的負數是負的,一個負的元素的負數是正的:即任何 中的 ,假如 則 或 。
- 不等式可以相加: 和 則 。
- 不等式可以與正元素相乘: 和 則 。
- 平方數不是負的: ,尤其 。
- 通過數學歸納法可以推導出任何一的有限的和是正的: 。
結構
編輯所有有序體都具有特徵數0。這個結論直接出於上述的最後一個特性 。
每個有序體的子體也是有序體。任何含特徵數0的體其最小子體與有理數同構,且這個子體的排序與 一致。
假如一個有序體中的任何元素都介於兩個有理數之間的話,則該體具有阿基米德性質。比如實數是具有阿基米德性質的,而超實數則不具有。
有序體 的排序可用來定義 的拓撲空間,這個拓撲空間可由 和 作為準基來生成,稱之為序拓撲。加法和乘法運算相對於這個拓撲空間是連續的。