李代數上同調

在數學中，李代數上同調是李代數的一種上同調理論，由謝瓦萊和艾倫伯格為了對緊李群的拓撲空間的上同調進行代數構造而建立。在上文提及的論文中，一個特定的被稱作Koszul復形的特殊復形，在李代數的模上定義，而其上同調則以一般形式被構造。

動機

令G為一個緊李群，則其被對應的李代數完全確定，因此由李代數來確定李群上同調應為可能的。我們使用如下的構造。注意到李群的上同調是G上的微分形式構成的復形對應的德拉姆上同調，而這個復形可以被替換為等變微分形式的復形，而後者則可以被看作帶有一個合適的微分算子的李代數的外代數。這一微分算子的構造對於任何李代數都成立，因此被用於定義所有李代數的李代數上同調。更加一般化地，我們可以用類似的構造來定義模係數的李代數上同調。

定義

令${\mathfrak {g}}$是一個交換環R上的一個李代數，其泛包絡代數為$U{\mathfrak {g}}$；令M為${\mathfrak {g}}$的一個表示（或者，等效地，$U{\mathfrak {g}}$的一個模）。將R考慮為${\mathfrak {g}}$的一個平凡表示，則可以構造上同調群

$\mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)$

（參見Ext函子）。等效地，我們可以將其看作下面這個左正合不變子模函子的右導出函子：

$M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid gm=0\ {\text{ for all }}g\in {\mathfrak {g}}\}.$

類似地，可以定義李代數同調群為

$\mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)$

（參見Tor函子）。我們也可以將其看作下面這個右正合協不變函子的左導出函子：

$M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.$

李代數上同調的重要基本結果包括：懷特海德引理，外爾定理和萊維分解定理。

低維上同調

第零上同調群，由定義，是李代數在模上作用的不變量：

$H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid gm=0\ {\text{ for all }}g\in {\mathfrak {g}}\}.$

第一上同調群，是所有導子的空間模去內導子空間：

$H^{1}({\mathfrak {g}};M)=Der({\mathfrak {g}},M)/Ider({\mathfrak {g}},M)$

其中導子指一個從李代數到M的映射d使得

$d[x,y]=xdy-ydx~$

若有M內的元素a使得

$dx=xa~$

則稱其為內導子。

第二上同調群

$H^{2}({\mathfrak {g}};M)$

是由M對李代數的李代數擴張的等價類的空間

$0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0$

對於更高維的上同調群，似乎沒有簡單的詮釋存在。

參見

• 理論物理學中的BRST量子化。

文獻

• Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel, Cohomology Theory of Lie Groups and Lie Algebras, Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society), 1948, 63 (1): 85–124, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990637, MR 0024908, doi:10.2307/1990637 
• Hilton, P. J.; Stammbach, U., A course in homological algebra, Graduate Texts in Mathematics 4 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-94823-2, MR 1438546 
• Knapp, Anthony W., Lie groups, Lie algebras, and cohomology, Mathematical Notes 34, Princeton University Press, 1988, ISBN 978-0-691-08498-5, MR 0938524