數論中,將正整數 n 的根基(英文:radical)定義為 n 的所有素因數(質因數)的積:

整數的根運算對簡化abc猜想的表述起到重要作用。[1]

例子

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在不與開方運算里的「(root)」的概念混淆的情況下,也常簡稱「根」。例如我們有

 

所以504的根計算如下

 

根數列

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所有正整數的根組成如下數列:

1, 2, 3, 2, 5, 6, 7, 2, 3, 10, 11, 6, 13, 14, 15, 2, 17, 6, 19, 10, 21, 22, 23, 6, 5, 26, 3, 14, 29, 30, 31, 2, 33, 34, 35, 6, 37, 38, 39, 10, 41, 42, 43, 22, 15, 46, 47, 6, 7, 10, ... (OEIS數列A007947).

性質

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  •  積性函數
  • 對於任意整數 而言, 是其最大的無平方因子數因數,故 又稱 的無平方核心(square-free kernel)。[2]截至目前為止,並無在多項式時間內計算 的無平方部分的算法。[3]
  •  可推廣為 最大的無 次方因子數因數 ,而 是一個有如下定義的積性函數:
     
      的狀況分別由A007948A058035列舉。
  • 根基的表達式出現於abc猜想中,而這猜想表示說,對於任意的 ,都有一個 ,使得對於任意滿足 互質的三元數組   而言,都有以下的關係:[1]
     
  • 對於任意整數 而言,有限環 的所有冪零元都是 的倍數。
  • 根基有如下的狄利克雷級數
     

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參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 Gowers, Timothy. V.1 The ABC Conjecture. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2008: 681 [2020-04-08]. (原始內容存檔於2021-12-23). 
  2. ^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A007947. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
  3. ^ Adleman, Leonard M.; McCurley, Kevin S. Open Problems in Number Theoretic Complexity, II. Algorithmic Number Theory: First International Symposium, ANTS-I Ithaca, NY, USA, May 6–9, 1994, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 877. Springer. : 291–322. CiteSeerX 10.1.1.48.4877 . MR 1322733. doi:10.1007/3-540-58691-1_70.