- :維數為n 的內積空間
- : 中的元素,可以是向量、函數,等等
- : 與 的內積
- : 、 …… 張成的子空間
- : 在 上的投影
圖1 在 上投影,構造 上的正交基
Gram-Schmidt正交化的基本想法,是利用投影原理在已有正交基的基礎上構造一個新的正交基。
設 。 是 上的 維子空間,其標準正交基為 ,且 不在 上。由投影原理知, 與其在 上的投影 之差
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是正交於子空間 的,亦即 正交於 的正交基 。因此只要將 單位化,即
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那麼 就是 在 上擴展的子空間 的標準正交基。
根據上述分析,對於向量組 張成的空間 ( ),只要從其中一個向量(不妨設為 )所張成的一維子空間 開始(注意到 就是 的正交基),重複上述擴展構造正交基的過程,就能夠得到 的一組正交基。這就是Gram-Schmidt正交化。
首先需要確定已有基底向量的順序,不妨設為 。Gram-Schmidt正交化的過程如下:
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這樣就得到 上的一組正交基 ,以及相應的標準正交基 。
- 例
考察如下歐幾里得空間Rn中向量的集合,歐氏空間上內積的定義為<a, b> = bTa:
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下面作Gram-Schmidt正交化,以得到一組正交向量:
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下面驗證向量 與 的正交性:
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將這些向量單位化:
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於是 就是 的一組標準正交基底。
隨著內積空間上內積的定義以及構成內積空間的元素的不同,Gram-Schmidt正交化也表現出不同的形式。
例如,在實向量空間上,內積定義為:
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在複向量空間上,內積定義為:
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函數之間的內積則定義為:
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與之對應,相應的Gram-Schmidt正交化就具有不同的形式。