內積有兩種定義方式:代數方式和幾何方式。通過在歐氏空間中引入笛卡兒坐標系,向量間的內積既可以由向量坐標的代數運算得出,也可以通過引入兩向量的長度和角度等幾何概念來求解。
向量 和 的內積定義為:
-
這裡的Σ是求和符號,而n是向量空間的維度。
例如,三維向量 和 的內積是
-
內積還可以寫為:
- 。
這裡, 是列向量 的轉置。
使用上面的例子,1×3矩陣(列向量)乘以3×1矩陣(行向量)的行列式就是結果(通過矩陣乘法得到1×1矩陣):
- 。
在歐幾里得空間中,內積可直觀定義為
-
這裡 | | 表示 的模(長度), 表示向量間的角度。
注意:內積的形式定義和這定義不同;在形式定義, 和 的夾角用上述等式定義。
這樣,互相垂直的兩條向量的內積總是零。若 和 都是單位向量(長度為1),它們的內積就是它們的夾角的餘弦。那麼,給定兩條向量,它們之間的夾角可以以下公式得到:
-
這個運算可以簡單地理解為:在內積運算中,第一向量投影到第二向量上(向量順序這裡在不重要,內積運算可交換),然後通過除以它們的純量長度來「標準化」。這樣,這分數一定是小於等於1的,可以簡單轉化成角度值。
A·B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ)是A到B的投影。
歐氏空間中向量 在向量 上的純量投影是指對於向量B來說向量A的垂直度到向量B的代表長度
-
這裡 是 和 的夾角。從內積的幾何定義 不難得出,兩向量的內積: 可以理解為向量 在向量 上的投影再乘以 的長度。
-
內積的兩種定義中,只需給定一種定義,另外一種定義就可以推出。
設 是 空間的一組標準正交基,可以得出:
-
上文中已經得知兩條向量內積的幾何定義實際上就是一條向量在另外一條向量上的投影,故 在任一標準基 的內積 就是 在此標準基向量上的投影,而根據向量自身的定義,這個投影即為 。因此:
-
應用餘弦定理。
注意:這個證明採用三維向量,但可以推廣到 維的情形。
考慮向量
- .
重復使用畢氏定理得到
- .
而由代數定義
- ,
所以,根據向量內積的代數定義,向量 和自身的內積就是其長度的平方。
- 引理1
-
現在,考慮從原點出發的兩條向量 和 ,夾角 。第三條向量 定義為
- ,
構造以 , , 為邊的三角形,採用餘弦定理,有
- .
根據引理1,用內積代替向量長度的平方,有
- . (1)
同時,根據定義 ≡ - ,有
- ,
根據分配律,得
- . (2)
連接等式(1)和(2)有
- .
簡化等式即得
- ,
以上即為向量內積的幾何定義。
需要注意的是,內積的幾何解釋通常只適用於 ( )。在高維空間,其他的域或模中,內積只有一個定義,那就是
-
內積可以用來計算合力和功。若 為單向量,則內積即為 在方向 的投影,即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的內積。