物理空間代數

物理學中,物理空間代數 (APS)是用三維歐氏空間克利福德代數幾何代數作為(3+1)維時空的模型,通過副向量(3維向量加1維純量)表示時空中的一個點。

克利福德代數旋量表示上有由泡利矩陣生成的忠實表示;此外,同構於克利福德代數的偶子代數

APS可為經典力學與量子力學構建一個緊湊、統一的幾何形式。

注意APS與時空代數(STA)不同,後者涉及4維閔氏時空克利福德代數

狹義相對論

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時空位置副向量

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APS中,時空位置可表為副向量  

其中時間由標綠部分 給出, 是位置空間的標準基。整個過程中使用的單位是 ,稱作自然單位制。在泡利矩陣表述中,單位基向量被泡利矩陣代替,純量部分被單位矩陣代替,這意味著時空位置的泡利矩陣表述為  

洛倫茲變換與轉子

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保時間方向、包含旋轉與遞升的受限洛倫茲變換,可用對時空旋轉雙副向量W進行指數化實現:  

在矩陣表示中,洛倫茲轉子被看作是 群(複數上度為2的特殊線性群)的一個例子,其是洛倫茲群的雙覆蓋。洛倫茲轉子的么模性可由以下條件,轉為洛倫茲轉子與其克利福德共軛之積:  

此洛倫茲轉子總可以分解為兩個因子,是厄米 么正 ,使得  

酉元R稱作轉子,因為其編碼了旋轉,厄米元B則編碼了遞升。

四維速度副向量

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四維速度也稱原速,定義為時空位置副向量對原時τ導數 

定義普通速度為  

回想伽馬因子的定義:  

於是原速的更緊湊定義是:  

原速是正么模副向量,意味著下列克利福德共軛條件:  

洛倫茲轉子L作用下,原速變換為  

四維動量副向量

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APS中的四維動量可通過將原速與質量相乘得到:   質殼條件轉化為  

經典電動力學

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電磁場、電勢與電流

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電磁場可表為雙副向量F  其中厄米部分代表電場E,反厄米部分代表磁場B。在標準泡利矩陣表示中,電磁場為  

F的源是電磁四維電流   其中純量部分等於電荷密度ρ,向量部分等於電流密度j。引入電磁勢副向量  當中純量部分等於電勢ϕ,向量部分等於磁勢A。則電磁場為   此場也可分為電部分   與磁部分   當中  F在下列規範變換下不變:   其中 純量場

電磁場在洛倫茲變換下是協變的,規律是  

麥克斯韋方程組與洛倫茲力

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麥克斯韋方程組可用單一方程表示:   其中上橫線表示克利福德共軛。

洛倫茲力方程形式為  

電磁拉格朗日量

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電磁拉格朗日量  是實純量不變量。

相對論量子力學

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對質量為m、電荷為e帶電粒子,其狄拉克方程的形式為   其中 是任意酉向量,A是如上所述的電磁副向量。電磁相互作用通過最小耦合包含在勢A中。

經典旋量

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與洛倫茲力一致的洛倫茲轉子的微分方程  這樣,原速可通過靜止時的洛倫茲變換計算出來:   積分之,就可得到時空軌跡 ,同時還能使用  

另見

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參考文獻

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教科書

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文章

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