物理空間代數

物理學中，物理空間代數 （APS）是用三維歐氏空間的克利福德代數或幾何代數 ${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$ 作為(3+1)維時空的模型，通過副向量（3維向量加1維純量）表示時空中的一個點。

克利福德代數 ${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$ 在旋量表示 $\mathbb {C} ^{2}$ 上有由泡利矩陣生成的忠實表示；此外， ${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$ 同構於克利福德代數 ${\rm {Cl}}_{3,\ 1}(\mathbb {R} )$ 的偶子代數 ${\rm {Cl}}_{3,\ 1}^{[0]}(\mathbb {R} )$ 。

APS可為經典力學與量子力學構建一個緊湊、統一的幾何形式。

注意APS與時空代數（STA）不同，後者涉及4維閔氏時空的克利福德代數 ${\rm {Cl}}_{1,\ 3}(\mathbb {R} )$ 。

狹義相對論

時空位置副向量

APS中，時空位置可表為副向量 $x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},$

其中時間由標綠部分 $x^{0}=t$ 給出， ${\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2},\ {\vec {e}}_{3}$ 是位置空間的標準基。整個過程中使用的單位是 $c=1$ ，稱作自然單位制。在泡利矩陣表述中，單位基向量被泡利矩陣代替，純量部分被單位矩陣代替，這意味著時空位置的泡利矩陣表述為 $x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}$

洛倫茲變換與轉子

保時間方向、包含旋轉與遞升的受限洛倫茲變換，可用對時空旋轉雙副向量W進行指數化實現： $L=e^{{\frac {1}{2}}W}.$

在矩陣表示中，洛倫茲轉子被看作是 ${\rm {SL}}(2,\ \mathbb {C} )$ 群（複數上度為2的特殊線性群）的一個例子，其是洛倫茲群的雙覆蓋。洛倫茲轉子的么模性可由以下條件，轉為洛倫茲轉子與其克利福德共軛之積： $L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.$

此洛倫茲轉子總可以分解為兩個因子，是厄米的 $B=B^{\dagger }$ 與么正的 $R^{\dagger }=R^{-1}$ ，使得 $L=BR.$

酉元R稱作轉子，因為其編碼了旋轉，厄米元B則編碼了遞升。

四維速度副向量

四維速度也稱原速，定義為時空位置副向量對原時τ的導數： $u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].$

定義普通速度為 $\mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),$

回想伽馬因子的定義： $\gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},$

於是原速的更緊湊定義是： $u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).$

原速是正么模副向量，意味著下列克利福德共軛條件： $u{\bar {u}}=1.$

在洛倫茲轉子L作用下，原速變換為 $u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.$

四維動量副向量

APS中的四維動量可通過將原速與質量相乘得到： $p=mu,$ 質殼條件轉化為 ${\bar {p}}p=m^{2}.$

經典電動力學

電磁場、電勢與電流

電磁場可表為雙副向量F： $F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,$ 其中厄米部分代表電場E，反厄米部分代表磁場B。在標準泡利矩陣表示中，電磁場為 $F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.$

場F的源是電磁四維電流 $j=\rho +\mathbf {j} \,,$ 其中純量部分等於電荷密度ρ，向量部分等於電流密度j。引入電磁勢副向量： $A=\phi +\mathbf {A} \,,$ 當中純量部分等於電勢ϕ，向量部分等於磁勢A。則電磁場為 $F=\partial {\bar {A}}.$ 此場也可分為電部分 $E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}$ 與磁部分 $B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{BV}$ 當中 $\partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}$ 且F在下列規範變換下不變： $A\rightarrow A+\partial \chi \,,$ 其中 $\chi$ 是純量場。

電磁場在洛倫茲變換下是協變的，規律是 $F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.$

麥克斯韋方程組與洛倫茲力

麥克斯韋方程組可用單一方程表示： ${\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,$ 其中上橫線表示克利福德共軛。

洛倫茲力方程形式為 ${\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.$

電磁拉格朗日量

電磁拉格朗日量是 $L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,$ 是實純量不變量。

相對論量子力學

對質量為m、電荷為e的帶電粒子，其狄拉克方程的形式為 $i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger },$ 其中 ${\vec {e}}_{3}'$ 是任意酉向量，A是如上所述的電磁副向量。電磁相互作用通過最小耦合包含在勢A中。

經典旋量

與洛倫茲力一致的洛倫茲轉子的微分方程為 ${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,$ 這樣，原速可通過靜止時的洛倫茲變換計算出來： $u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },$ 積分之，就可得到時空軌跡 $x(\tau )$ ，同時還能使用 ${\frac {dx}{d\tau }}=u.$

另見

參考文獻

教科書

Baylis, William. Electrodynamics: A Modern Geometric Approach 2nd. 2002. ISBN 0-8176-4025-8.
Baylis, William (編). Clifford (Geometric) Algebras: with applications to physics, mathematics, and engineering. Springer. 1999 [1996]. ISBN 978-0-8176-3868-9.
Doran, Chris; Lasenby, Anthony. Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press. 2007 [2003]. ISBN 978-1-139-64314-6.
Hestenes, David. New Foundations for Classical Mechanics 2nd. Kluwer. 1999. ISBN 0-7923-5514-8.

文章

Baylis, W E. Relativity in introductory physics. Canadian Journal of Physics. 2004, 82 (11): 853–873. Bibcode:2004CaJPh..82..853B. S2CID 35027499. arXiv:physics/0406158  . doi:10.1139/p04-058.
Baylis, W E; Jones, G. The Pauli algebra approach to special relativity. Journal of Physics A: Mathematical and General. 7 January 1989, 22 (1): 1–15. Bibcode:1989JPhA...22....1B. doi:10.1088/0305-4470/22/1/008.
Baylis, W. E. Classical eigenspinors and the Dirac equation. Physical Review A. 1 March 1992, 45 (7): 4293–4302. Bibcode:1992PhRvA..45.4293B. PMID 9907503. doi:10.1103/physreva.45.4293.
Baylis, W. E.; Yao, Y. Relativistic dynamics of charges in electromagnetic fields: An eigenspinor approach. Physical Review A. 1 July 1999, 60 (2): 785–795. Bibcode:1999PhRvA..60..785B. doi:10.1103/physreva.60.785.