在數學的解析數論領域,狄利克雷η函數定義為:
複平面上的狄利克雷η函數
。用顏色來編碼點
的值
,強烈的色彩表示接近零的值,色度值表示值的輻角。
![{\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/680661b488839174185ecc196b53266ce03fb87a)
其中 ζ 是黎曼ζ函數。但η函數也用常來定義黎曼ζ函數。
對實部為正數的複數s,也可定義為狄利克雷級數表達式形式:
![{\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74234a6b3ceffe47a76211cecaf0f075eabefbd0)
表達式僅當實部為正數時收斂。對任意複數,該表達式是一個阿貝爾和,可定義為一個整函數,並由此可知ζ函數是一個極點在s = 1的單極點亞純函數。
等價定義為:
![{\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\exp(x)+1}}{\frac {dx}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0060abd23da186aaaf12f35137e8ea030887461a)
定義在複平面上實部為正的區域,該定義形式是一個Mellin變換。
G·H·哈代給出一個函數方程的簡單證明:
![{\displaystyle \eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f76ff108c1005854f9a9c15027e24efe8feee4)
因此能將其擴展到整個複數域。
大多數交錯級數的串行加速技術都可應用在η函數的求值上。一個特別簡單,合理的方法是應用交錯序列的歐拉變換,得到:
-
注意第二個求和裡面是前向差分。
彼得·波溫(Peter Borwein)使用包含切比雪夫多項式的近似值用來得到η函數的高效求值方法。
如果:
-
則:
-
當 時,誤差項 γn範圍:
-
誤差分布中的係數 顯示Borwein級數隨著n的增加而很快集中於一點。
- Borwein, P., An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
- Xavier Gourdon and Pascal Sebah, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), Numbers, constants and computation (2003)
- Borwein, P., [1] (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- Knopp, Konrad. Theory and Application of Infinite Series. Dover. 1990 [1922]. ISBN 0-486-66165-2.