積分第一均值定理

積分第一均值定理的內容為:

為一連續函數 要求g(x)是可積函數且在積分區間不變號,那麼存在一點 使得

事實上,可以證明,上述的中值點必能在開區間內取得[1],見下方中值點在開區間內存在的證明。

證明

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因為  閉區間上的連續函數,  取得最大值  最小值  。於是

 

不等式積分,我們有

 

 ,則    可取   上任一點。

 ,那麼

 

因為  是連續函數,根據介值定理,必存在一點  ,使得

 

中值點在開區間內存在的證明

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已知  上連續,設 

  上連續,在 內可導,應用拉格朗日均值定理,可得:

 ,其中 

 

所以

 

參考文獻

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  1. ^ 華東師範大學數學系. 数学分析 上册 第三版. 高等教育出版社. 2006: 第219頁. 

由微積分基本性質,當被積函數在[a,b]上連續時,原函數在[a,b]上是可導的,而拉格朗日定理的假設是「f(x)在(a,b)內可導" 所以原文中「知F(x)在[a,b]上連續,在[a,b]內可導,應用拉格朗日均值定理,可得:」應該改為 「知F(x)在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,應用拉格朗日均值定理,可得:」 否則無法排除ξ只取在a或者b上的可能

此說法並不嚴密。現根據以上對原定理的證明,來解釋為什麼 可以改為  。 因為   上連續,所以  上有最大值  和最小值  。設     ,如果 ,則 是常值函數,任取 即可。如果  ,由於函數 連續且有一點 使   ,所以由積分性質有  ,即

 

同理可得  ,故有

 

由連續函數的介值定理,至少存在一點  (或  ),使得 ,即

 

註:以上內容參考延邊大學出版社《數學分析輔導及習題精解 華東師大.第四版 上冊》

另請參見

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