積分第一均值定理

積分第一均值定理的內容為：

設 $f:[a,b]\rightarrow \mathbf {R}$ 為一連續函數， $g:[a,b]\rightarrow \mathbf {R}$ 要求g(x)是可積函數且在積分區間不變號，那麼存在一點 $\xi \in [a,b]$ 使得

\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=f(\xi )\int _{a}^{b}g(x)\,dx

。

事實上，可以證明，上述的中值點 $\xi$ 必能在開區間 $(a,b)$ 內取得^[1]，見下方中值點在開區間內存在的證明。

證明

因為 $f\$ 是閉區間上的連續函數， $f\$ 取得最大值 $\mathrm {M} \$ 和最小值 $\mu \$ 。於是

\mathrm {M} g(x)\geq f(x)g(x)\geq \mu g(x)

。

對不等式求積分，我們有

\mathrm {M} \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x\geq \int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x\geq \mu \int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x

。

若 $\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x=0$ ，則 $\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x=0$ 。 $\xi \$ 可取 $[\alpha ,\beta ]\$ 上任一點。

設 $\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x>0$ ，那麼

\mathrm {M} \geq {\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x}{\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}}\geq \mu

。

因為 $\mathrm {M} \geq f(x)\geq \mu$ 是連續函數，根據介值定理，必存在一點 $\xi \in [\alpha ,\beta ]$ ，使得

f(\xi )={\frac {\int _{\alpha }^{\beta }f(x)g(x){\rm {d}}x}{\int _{\alpha }^{\beta }g(x){\rm {d}}x}}

。

中值點在開區間內存在的證明

已知 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續，設 $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$ 。

知 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續，在 $(a,b)$ 內可導，應用拉格朗日均值定理，可得：

{\dfrac {F(b)-F(a)}{b-a}}=F'(\xi )

，其中

\xi \in (a,b)

即

{\dfrac {\int _{a}^{b}f(t)\,dt-\int _{a}^{a}f(t)\,dt}{b-a}}=f(\xi )

所以

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(\xi )(b-a),\xi \in (a,b)

。

參考文獻

^ 華東師範大學數學系. 数学分析上册第三版. 高等教育出版社. 2006: 第219頁.

由微積分基本性質，當被積函數在[a,b]上連續時，原函數在[a,b]上是可導的，而拉格朗日定理的假設是「f(x)在（a,b）內可導" 所以原文中「知F(x)在[a,b]上連續，在[a,b]內可導，應用拉格朗日均值定理，可得：」應該改為「知F(x)在[a,b]上連續，在（a,b）內可導，應用拉格朗日均值定理，可得：」否則無法排除ξ只取在a或者b上的可能

此說法並不嚴密。現根據以上對原定理的證明，來解釋為什麼 $\xi \in [a,b]$ 可以改為 $\xi \in (a,b)$ 。因為 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續，所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有最大值 $M$ 和最小值 $m$ 。設 $f(x_{1})=m$ ， $f(x_{2})=M$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ $\in [a,b]$ ，如果 $m=M$ ，則 $f(x)$ 是常值函數，任取 $\xi \in (a,b)$ 即可。如果 $m<M$ ，由於函數 $M-f(x)$ 連續且有一點 $x_{1}$ 使 $M-f(x_{1})>0$ ，所以由積分性質有 $\int _{a}^{b}[M-f(x)]\,dx>0$ ，即