算術幾何
代数几何在数论的应用
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在數學中,算術幾何(arithmetic geometry)大致是從代數幾何到數論問題的技術的應用[1]。算術幾何圍繞著丟番圖幾何,這是代數簇有理點的研究[2][3]。
概述
編輯算術幾何主要的研究對象是有理點:即多項式方程組在代數數域、有限域、P進數、或函數域上的解集。(研究對象是非代數閉域,所以不包括本來即為代數閉域的實數域。) 有理點的特徵可以用衡量其算術複雜性的高度函數(height function)來表示。[5]
隨著代數幾何的現代抽象發展,當前的主要的研究方向是在非代數閉域上定義的代數簇的結構。在有限域上,平展上同調(Étale cohomology)提供了與代數簇相關的拓撲不變量[6]。霍奇理論提供了工具來檢查複數上的上同調性質如何擴展到P進數上[7]。
歷史
編輯算術幾何原指從法爾廷斯(Faltings,G.)、奎倫(Quillen,D.G.)等的算術曲面上黎曼-羅赫定理開始的一系列研究工作,現在一般指所有以數論為背景或目的的代數幾何。在算術幾何中許多學科起著重要作用,並且相互交叉和滲透,包括數論、模形式、表示論、代數幾何、代數數論、李群、多複變函數論、黎曼面、K理論等,所以,它是典型的邊緣學科。丟番圖方程是算術幾何的一個重要課題,其中的問題可以自然地用幾何語言表達。在許多著名問題如莫德爾猜想、費馬大定理等的研究中,都表明幾何方法的必要性。這正是算術幾何的生命力所在。
參閱
編輯參考資料
編輯- ^ Sutherland, Andrew V. Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). September 5, 2013 [22 March 2019]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-01-08).
- ^ Klarreich, Erica. Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry. June 28, 2016 [March 22, 2019]. (原始內容存檔於2021-01-25).
- ^ Poonen, Bjorn. Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). 2009 [March 22, 2019]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-05-07).
- ^ nLab的Arithmetic geometry條目
- ^ Lang, Serge. Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. 1997: 43–67. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
- ^ 引用錯誤:沒有為名為
grothendieck-cohomology
的參考文獻提供內容 - ^ Serre, Jean-Pierre. Résumé des cours, 1965–66. Annuaire du Collège de France (Paris). 1967: 49–58.