在範疇論 中，範疇 這一概念代表一些數學對象及這些對象間的一些關係，以及這些關係之間的關係。利用範疇可以公式化抽象結構並保留結構上的關係，如運算。範疇幾乎可以出現於現代數學的任意分支，同時也統合了這些分支的底層理念。對範疇本身的研究就稱作範疇論 。
一個範疇
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
(
O
b
C
,
M
o
r
C
;
∘
)
{\displaystyle (\mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}},\mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}};\circ )}
一個由對象 （Ob ject）所構成的類
O
b
C
{\displaystyle \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}
物件間的態射 Mor phism）所構成的類
M
o
r
C
{\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}
f
∈
M
o
r
C
{\displaystyle f\in {\mathrm {Mor\ } }{\mathcal {C}}}
Dom ain）」
A
{\displaystyle A}
Cod omain）」
B
{\displaystyle B}
A
,
B
∈
O
b
C
{\displaystyle A,B\in \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}
f
:
A
→
B
{\displaystyle f\colon A\to B}
f
{\displaystyle f}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
一個 態射[ 注釋 1]
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
H
o
m
C
(
A
,
B
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}\ (A,B)}
H
o
m
(
A
,
B
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} \ (A,B)}
對任意態射對
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
∘
{\displaystyle \circ }
∘
(
−
,
−
)
:
H
o
m
(
A
,
B
)
×
H
o
m
(
B
,
C
)
→
H
o
m
(
A
,
C
)
,
(
f
,
g
)
↦
g
∘
f
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\circ (-,-)\colon \ &\mathrm {Hom} \ (A,B)\times \mathrm {Hom} \ (B,C)&\to &\quad \mathrm {Hom} \ (A,C),\\&(f,g)&\mapsto &\quad g\circ f,\end{aligned}}}
其中，
g
∘
f
{\displaystyle g\circ f}
g
f
{\displaystyle gf}
此態射複合滿足下列公理：
（結合律）對態射
f
:
A
→
B
{\displaystyle f\colon A\to B}
g
:
B
→
C
{\displaystyle g\colon B\to C}
h
:
C
→
D
{\displaystyle h\colon C\to D}
h
(
g
f
)
=
(
h
g
)
f
{\displaystyle h(gf)=(hg)f}
（么元）對任意對象
X
{\displaystyle X}
1
X
∈
H
o
m
(
X
,
X
)
{\displaystyle 1_{X}\in \mathrm {Hom} \ (X,X)}
f
∈
H
o
m
(
A
,
B
)
{\displaystyle f\in \mathrm {Hom} \ (A,B)}
1
B
f
=
f
=
f
1
A
{\displaystyle 1_{B}f=f=f1_{A}}
1
X
{\displaystyle 1_{X}}
X
{\displaystyle X}
根據上述公理可以證明，對每個特定對象而言，單位態射具唯一性。在這樣的等價關係上，部分作者視對象與其單位態射為同一概念。 [來源請求]
圖 1：
M
o
r
C
{\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}
O
b
C
{\displaystyle \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}
顯然，
M
o
r
C
{\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}
O
b
C
{\displaystyle \mathrm {Ob\ } {\mathcal {C}}}
I
d
:
X
↦
1
X
{\displaystyle \mathrm {Id} \colon \ X\mapsto 1_{X}}
D
o
m
:
f
↦
A
{\displaystyle \mathrm {Dom} \colon \ f\mapsto A}
C
o
d
:
f
↦
B
{\displaystyle \mathrm {Cod} \colon \ f\mapsto B}
一個範疇
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
小範疇 （Small Category），若且唯若其態射類
M
o
r
C
{\displaystyle \mathrm {Mor\ } {\mathcal {C}}}
真類 小，即僅有集合那麼大。
一個範疇
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
局部小範疇 （Locally Small Category），若且唯若對任意對象對
(
A
,
B
)
∈
(
O
b
C
)
2
{\displaystyle (A,B)\in (\mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}})^{2}}
H
o
m
C
(
A
,
B
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}\ (A,B)}
數學研究中，許多重要的範疇（例如集合的範疇），通常即使非小，也是局部小的。
一個態射
f
:
a
→
b
{\displaystyle f\colon \ a\to b}
同構（Iso morphism），若且唯若存在態射
g
:
b
→
c
{\displaystyle g\colon \ b\to c}
g
f
=
1
a
,
f
g
=
1
b
{\displaystyle gf=1_{a},\,fg=1_{b}}
自態射（End omorphism），若且唯若
b
=
a
{\displaystyle b=a}
f
{\displaystyle f}
a
{\displaystyle a}
a
{\displaystyle a}
自同構（Aut omorphism），若且唯若
f
{\displaystyle f}
單態射 （Mono morphism），若且唯若對任意態射
h
,
k
∈
H
o
m
(
x
,
a
)
{\displaystyle h,k\in \mathrm {Hom} \ (x,\,a)}
f
h
=
f
k
{\displaystyle fh=fk}
h
=
k
{\displaystyle h=k}
滿態射 （Epi morphism），若且唯若對任意態射
h
,
k
∈
H
o
m
(
b
,
x
)
{\displaystyle h,k\in \mathrm {Hom} \ (b,\,x)}
h
f
=
k
f
{\displaystyle hf=kf}
h
=
k
{\displaystyle h=k}
g
:
b
→
a
{\displaystyle g\colon \ b\to a}
g
f
=
1
a
{\displaystyle gf=1_{a}}
g
{\displaystyle g}
g
:
b
→
a
{\displaystyle g\colon \ b\to a}
f
g
=
1
b
{\displaystyle fg=1_{b}}
g
{\displaystyle g}
也記
a
{\displaystyle a}
E
n
d
a
{\displaystyle \mathrm {End} \ a}
A
u
t
a
{\displaystyle \mathrm {Aut} \ a}
下述三個命題是等價的：
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
態射之間的關係（例如
f
g
=
h
{\displaystyle fg=h}
交換圖表 ，其中物件表示為點，態射表示為箭頭。
給定一個範疇
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
O
b
D
⊆
O
b
C
{\displaystyle \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}\subseteq \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}
M
o
r
D
⊆
M
o
r
C
{\displaystyle \mathrm {Mor} \ {\mathcal {D}}\subseteq \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}}
同時，態射複合仍然保持。 稱
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
任意範疇
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
令
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
對偶範疇
C
o
p
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}
以
O
b
C
{\displaystyle \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}
O
b
C
o
p
{\displaystyle \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}
由如下從
M
o
r
C
{\displaystyle \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}}
M
o
r
C
o
p
{\displaystyle \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}
函子 完全生成後者：
M
o
r
C
→
M
o
r
C
o
p
f
:
X
→
Y
↦
f
o
p
:
Y
→
X
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}\qquad &\to &\mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\\f\colon \ X\to Y\quad &\mapsto &f^{\mathrm {op} }\colon \ Y\to X\end{aligned}}}
其中滿足：
∀
f
,
g
∈
M
o
r
C
,
(
f
∘
C
g
)
o
p
:=
g
o
p
∘
C
o
p
f
o
p
{\displaystyle \forall f,g\in \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}},(f\circ _{\mathcal {C}}g)^{\mathrm {op} }:=g^{\mathrm {op} }\circ _{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}f^{\mathrm {op} }}
利用對偶範疇可證明如下的對偶定理 ：
定理：下列三條定理等價：
f
:
x
→
y
{\displaystyle f\colon \ x\to y}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
對所有對象
c
∈
O
b
C
{\displaystyle c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}
f
{\displaystyle f}
f
∗
:
H
o
m
(
c
,
x
)
→
H
o
m
(
c
,
y
)
{\displaystyle f_{*}\colon \ \mathrm {Hom} (c,x)\to \mathrm {Hom} (c,y)}
對所有對象
c
∈
O
b
C
{\displaystyle c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}}}
f
{\displaystyle f}
f
∗
:
H
o
m
(
y
,
c
)
→
H
o
m
(
x
,
c
)
{\displaystyle f^{*}\colon \ \mathrm {Hom} (y,c)\to \mathrm {Hom} (x,c)}
對任意範疇
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
C
×
D
{\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}
以形如
(
c
,
d
)
{\displaystyle (c,\,d)}
有序對 為對象，其中
c
∈
O
b
C
,
d
∈
O
b
D
{\displaystyle c\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {C}},\,d\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}}
以形如
(
f
,
g
)
:
(
c
,
d
)
→
(
c
′
,
d
′
)
{\displaystyle (f,\,g)\colon \ (c,\,d)\to (c',\,d')}
結合律與單位態射也如此被逐分量定義。 圖 2：逗號範疇之態射 給定函子
F
:
D
→
C
,
G
:
E
→
C
{\displaystyle F\colon \ {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}},\,G\colon \ {\mathcal {E}}\to {\mathcal {C}}}
逗號範疇
F
↓
G
{\displaystyle F\downarrow G}
以有序三元組
(
d
,
e
,
f
:
F
d
→
G
e
)
∈
O
b
D
×
O
b
E
×
M
o
r
C
{\displaystyle (d,\,e,\,f\colon \ Fd\to Ge)\in \mathrm {Ob} \ {\mathcal {D}}\times \mathrm {Ob} \ {\mathcal {E}}\times \mathrm {Mor} \ {\mathcal {C}}}
以有序對
(
h
:
d
→
d
′
,
k
:
e
→
e
′
)
∈
M
o
r
D
×
M
o
r
E
{\displaystyle (h\colon \ d\to d',\,k\colon \ e\to e')\in \mathrm {Mor} \ {\mathcal {D}}\times \mathrm {Mor} \ {\mathcal {E}}}
(
h
,
k
)
:
(
d
,
e
,
f
)
→
(
d
′
,
e
′
,
f
′
)
{\displaystyle (h,\,k)\colon \ (d,\,e,\,f)\to (d',\,e',\,f')}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
f
′
∘
F
h
=
G
k
∘
f
{\displaystyle f'\circ Fh=Gk\circ f}
在許多範疇中，例如阿貝爾群範疇或向量空間範疇，態射集合
H
o
m
(
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {Hom} (a,\,b)}
阿貝爾群 ，並且態射的複合與這些阿貝爾群之間的群結構兼容，即複合映射是雙線性的 。這種範疇稱為預可加範疇 。如果在此基礎上這個範疇還帶有所有有限積 和上積 ，那麼我們稱之為可加範疇 。如果更進一步地，所有態射都有核和上核，並且每個滿態射都是上核而每個單態射都是核，那麼我們稱之為阿貝爾範疇 。阿貝爾範疇的典型例子是阿貝爾群的範疇。
範疇是完備的當其擁有所有極限 。集合、阿貝爾群、拓撲空間的範疇都是完備的。
範疇是笛卡爾閉 的當其擁有所有有限直積、且有限積上的態射總是可由任一因子上的態射確定。笛卡爾閉範疇包括 Set CPO ，即完全偏序 和斯科特連續函數 組成的範疇。
拓撲斯 是一種特定的笛卡爾閉範疇；所有數學內容都可以用拓撲斯的語言形式化（正如所有經典數學都可以用集合範疇的語言形式化一般）。拓撲斯也可用於表示邏輯理論。
^ 此處並未限定是唯一一個。
^ 此處及下列皆為具體範疇 的例子，即：在
S
e
t
{\displaystyle {\mathsf {Set}}}
^ 部分作者習慣將一般環的範疇記作
R
n
g
{\displaystyle {\mathsf {Rng}}}
R
i
n
g
{\displaystyle {\mathsf {Ring}}}
[ 1]
^ 由於 Russell 悖論 ，找到這樣一個範疇使得
C
A
T
∈
O
b
C
A
T
{\displaystyle {\mathsf {CAT}}\in \mathrm {Ob} \ {\mathsf {CAT}}}
C
a
t
∈
O
b
C
A
T
{\displaystyle {\mathsf {Cat}}\in \mathrm {Ob} \ {\mathsf {CAT}}}
[ 2]
^ 可以驗證，這樣的態射複合滿足定義的公理。
Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.（1990）. Abstract and Concrete Categories 頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）. Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 .（now free on-line edition）
Asperti, Andrea, & Longo, Giuseppe (1991). Categories, Types and Structures
Barr, Michael, & Wells, Charles (2002). Toposes, Triples and Theories Grundlehren der mathematischen Wissenschaften（278）. Springer-Verlag,1983)
Borceux, Francis (1994). Handbook of Categorical Algebra. . Vols. 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press.
Lawvere, William, & Schanuel, Steve.（1997）. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories . Cambridge: Cambridge University Press.
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician （2nd ed.）. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8 .
Jean-Pierre Marquis, "Category Theory" （頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ） in Stanford Encyclopedia of Philosophy 頁面存檔備份 ，存於網際網路檔案館 ）, 2006
.
