自同態

在數學中，自同態（英語：endomorphism）是從一個數學物件到它本身的態射（或同態）。例如，向量空間V的自同態是線性映射ƒ: V → V，而群G的自同態則是群同態ƒ: G → G，等等。一般地，我們可以討論任何範疇中的自同態，在集合範疇中，自同態就是從集合S到它本身的函數。

在任何範疇中，X的任何兩個自同態的複合也是X的自同態。於是可以推出，X的所有自同態的集合形成了一個么半群，記為End(X)（或End_C(X)，以強調範疇C）。

自同構

$X$ 的可逆自同態稱為自同構。所有自同構的集合是 $End(X)$ 的一個子群，稱為 $X$ 的自同構群，記為 $Aut(X)$ 。在以下的圖中，箭頭表示蘊含：

自同構	$\Rightarrow$	同構
$\Downarrow$		$\Downarrow$
自同態	$\Rightarrow$	同態

自同態環

阿貝爾群A的任何兩個自同態都可以相加起來，根據規則 $(f + g)(a) = f (a) + g (a)$ 。在這個加法下，阿貝爾群的自同態形成了一個環（自同態環）。例如， $Z n$ 的自同態的集合是所有整係數 $n \times n$ 矩陣的環。向量空間或模的自同態也形成了一個環，像預加法範疇中的任何物件的自同態一樣。非阿貝爾群的自同態生成了一個代數結構，稱為擬環（英語：Near-ring）。

參見

外部連結

自同態和假象的範疇. Victor Porton. 2005. - 範疇的自同態（尤其是帶有偏序態射的範疇）也是一定的範疇的物件。
Endomorphism. PlanetMath.