有限圖的譜半徑定義為其鄰接矩陣的譜半徑。
此一定義可以擴散到無限圖,但是其每個頂點都只連接有限個頂點(存在一實數C使得每一個頂點的度都小於C)。此情形下,針對圖G可定義:
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令γ是 G的鄰接算子:
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G的譜半徑定義為有界線性算子γ的譜半徑。
以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界:
命題:令A ∈ Cn×n,其譜半徑為ρ(A),以及相容(Consistent)矩陣範數 ||⋅||。則針對每一個整數 :
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證明
令(v, λ)為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性(sub-multiplicative property),可得:
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因為v ≠ 0,可得
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因此
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有關n個頂點,m個邊的圖,有許多的譜半徑的上界公式。例如,若
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其中 為整數,則[1] :
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譜半徑和矩陣乘冪數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立:
- 定理:令A ∈ Cn×n,其譜半徑ρ(A)。則ρ(A) < 1若且唯若
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- 另一方面,若ρ(A) > 1, 。上述敘述針對Cn×n上的任何矩陣範數都有效。
假設問題中的極限值為零,可以證明ρ(A) < 1。令(v, λ)為A的特徵值和特徵向量對。因為Akv = λkv可得:
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因為假設v ≠ 0,會得到
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表示|λ| < 1。因為這對任何一個特徵值都會成立,因此可知ρ(A) < 1。
接下來假設A的譜半徑小於1。根據若爾當標準型定理,可以知道針對所有的A ∈ Cn×n,存在V, J ∈ Cn×n以及非奇異的V和J分塊對角矩陣使得:
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而
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其中
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因此可得
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因為J是分塊對角矩陣
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而 若爾當方塊矩陣k次方可以得到,針對 :
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因此,若 ,則針對所有的i, 都會成立。因此針對所有的i,可得:
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這也表示
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因此
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另一方面,若 ,當k增加時,在J中至少有一個元素無法維持有界,因此證明了定理的第二部份。
以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T譜半徑
- 定理(Gelfand公式,1941年):令任何矩陣範數 ||⋅||,,可得
- [2].
令任意ε > 0,先建構以下二個矩陣:
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則:
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先將之前的定理應用到A+:
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這表示,根據級數極限定理,一定存在N+ ∈ N使得針對所有的k ≥ N+,下式都成立
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因此
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將之前的定理用在A−,表示 無界,一定存在N− ∈ N使得針對所有的k ≥ N−,下式都成立
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因此
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令N = max{N+, N−},,可得:
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因此,依定義,可得下式
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針對有界線性算子 A 及算子範數 ||·||,可以得到
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(複數希爾伯特空間上的)有界算子若其譜半徑等於數值半徑,可以稱為「譜算子」(spectraloid operator)。其中一個例子是正規算子。
- Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc., 1963
- Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1