谱半径

數學上，矩阵或有界線性算子的谱半径（spectral radius）是其特徵值絕對值中的最大值（也就是矩阵的谱中元素絕對值中的最小上界），會表示為ρ(·)。

矩陣

令 $λ 1, ..., λ n$ 是矩陣 $A \in C n \times n$ 中的特徵值，則其谱半径 $ρ (A)$ is 定義為：

\rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.

$A$ 的条件数可以用譜半徑表示，公式為 $\rho (A)\rho (A^{-1})$ 。

譜半徑是矩陣所有範數的一種下确界（infimum）。另一方面， $\rho (A)\leqslant \|A\|$ 對每一個矩陣範數 $\|\cdot \|$ 都成立，Gelfand公式指出 $\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}$ 。不過，針對任意向量 $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ ，譜半徑不一定會滿足 $\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|$ 。若要說明原因，可以令 $r>1$ 為任意數，考慮矩陣 $C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}$ 。 $C_{r}$ 的特徵多項式是 $\lambda ^{2}-1$ ，因此其特徵值為 $\pm 1$ ，且 $\rho (C_{r})=1$ 。不過 $C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}$ ，因此 $\|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|$ ，其中 $\|\cdot \|$ 是 $\mathbb {C} ^{n}$ 上的任何 $\ell ^{p}$ 範數。至於可以當 $k\to \infty$ 時，讓 $\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1$ 的原因是 $C_{r}^{2}=I$ ，因此當 $k\to \infty$ 時，使 $\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\leqslant \|C_{r}\|^{1/k}=r^{1/k}\to 1$ 。

\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|

針對所有

\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}

成立的條件是 $A$ 為埃尔米特矩阵及 $\|\cdot \|$ 為欧几里得範數。

圖

有限图的谱半径定義為其邻接矩阵的谱半径。

此一定義可以擴散到無限圖，但是其每個頂點都只連接有限個頂點（存在一實數 $C$ 使得每一個頂點的度都小於 $C$ ）。此情形下，針對圖 $G$ 可定義：

\ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.

令 $γ$ 是 $G$ 的邻接算子：

{\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}

$G$ 的谱半径定義為有界線性算子 $γ$ 的谱半径。

上界

矩陣譜半徑的上界

以下的命題指出了一個簡單但是有用的矩陣譜半徑上界：

命題：令 $A \in C n \times n$ ，其譜半徑為 $ρ (A)$ ，以及相容（Consistent）矩陣範數 $||\cdot||$ 。則針對每一個整數 $k\geqslant 1$ :

\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.

證明

令 $(v, λ)$ 為矩陣A的特徵值-特徵向量對。利用矩陣範數的次可乘性（sub-multiplicative property），可得：

|\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|

因為 $v \neq 0$ ，可得

|\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|

因此

\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.

圖譜半徑的上界

有關n個頂點，m個邊的圖，有許多的譜半徑的上界公式。例如，若

{\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}

其中 $3\leq k\leq n$ 為整數，則^[1] ：

\rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}

乘幂數列

定理

谱半径和矩陣乘幂數列是否收斂有緊密的關係。以下的定理會成立：

定理：令

A \in C n \times n

，其譜半徑

ρ (A)

。則

ρ (A) < 1

若且唯若

\lim _{k\to \infty }A^{k}=0.

另一方面，若

ρ (A) > 1

,

\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty

。上述敘述針對

C n \times n

上的任何矩陣範數都有效。

定理證明

假設問題中的極限值為零，可以證明 $ρ (A) < 1$ 。令 $(v, λ)$ 為A的特征值和特征向量對。因為 $A k v = λ k v$ 可得：

{\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}

因為假設 $v \neq 0$ ，會得到

\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0

表示|λ| < 1。因為這對任何一個特征值都會成立，因此可知ρ(A) < 1。

接下來假設 $A$ 的譜半徑小於 $1$ 。根據若尔当标准型定理，可以知道針對所有的 $A \in C n \times n$ ，存在 $V, J \in C n \times n$ 以及非奇異的 $V$ 和 $J$ 分塊對角矩陣使得：

A=VJV^{-1}

而

J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}

其中

J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.

因此可得

A^{k}=VJ^{k}V^{-1}

因為 $J$ 是分塊對角矩陣

J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}

而 $m_{i}\times m_{i}$ 若尔当方塊矩陣 $k$ 次方可以得到，針對 $k\geq m_{i}-1$ ：

J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}

因此，若 $\rho (A)<1$ ，則針對所有的 $i$ ， $|\lambda _{i}|<1$ 都會成立。因此針對所有的 $i$ ，可得：

\lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0

這也表示

\lim _{k\to \infty }J^{k}=0.

因此

\lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0

另一方面，若 $\rho (A)>1$ ，當k增加時，在 $J$ 中至少有一個元素無法維持有界，因此證明了定理的第二部份。

Gelfand公式

定理

以下的定理可以用[矩陣範數的極限來計算T谱半径

定理（Gelfand公式，1941年）：令任何矩陣範數

||\cdot||,

，可得

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.

^[2].

證明

令任意 $ε > 0$ ，先建構以下二個矩陣：

A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.

則:

\rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).

先將之前的定理應用到 $A +$ :

\lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.

這表示，根據級數極限定理，一定存在 $N + \in N$ 使得針對所有的k ≥ N₊，下式都成立

{\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}

因此

{\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned}}

將之前的定理用在 $A -$ ，表示 $\|A_{-}^{k}\|$ 無界，一定存在 $N - \in N$ 使得針對所有的k ≥ N₋，下式都成立

{\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned}}

因此

{\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .\end{aligned}}

令 $N = max{N +, N -},$ ，可得：

\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon

因此，依定義，可得下式

\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).

舉例

考慮以下矩陣

A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}

其中的特徵值為 $5, 10, 10$ 。依照定義， $ρ (A) = 10$ 。在以下的表中，會以四個最常用的矩陣範式，在k增加時，計算 $\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}$ （注意，因為此矩陣特殊的形式， $\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$ ）:

k	$\\|.\\|_{1}=\\|.\\|_{\infty }$	$\\|.\\|_{F}$	$\\|.\\|_{2}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

有界線性算子

針對有界線性算子 $A$ 及算子范数 ||·||，可以得到

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.

（複數希爾伯特空間上的）有界算子若其谱半径等於數值半徑（英语：numerical radius），可以稱為「譜算子」（spectraloid operator）。其中一個例子是正规算子。

註解

^ Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin. Sharp upper bounds of the spectral radius of a graph. Discrete Mathematics. 2019, 342 (9): 2559–2563. doi:10.1016/j.disc.2019.05.017 （英语）.
^ 此公式在任何Banach幾何下都成立。參考Dunford & Schwartz 1963的Lemma IX.1.8，以及Lax 2002，第195–197頁

參考資料

Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob, Linear operators II. Spectral Theory: Self Adjoint Operators in Hilbert Space, Interscience Publishers, Inc., 1963
Lax, Peter D., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1

[1] Guo, Ji-Ming; Wang, Zhi-Wen; Li, Xin. Sharp upper bounds of the spectral radius of a graph. Discrete Mathematics. 2019, 342 (9): 2559–2563. doi:10.1016/j.disc.2019.05.017 （英语）.

[2] 此公式在任何Banach幾何下都成立。參考Dunford & Schwartz 1963的Lemma IX.1.8，以及Lax 2002，第195–197頁

[1]

[2]

谱半径

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