辛同胚

在數學中，一個辛同胚（symplectomorphism）是辛流形範疇中的一個同構。

正式定義

具體地，設 (M₁, ω₁) 與 (M₂, ω₂) 是辛流形。一個映射

f : M₁ → M₂

是一個辛同胚如果它是一個微分同胚且 ω₂ 在 f 下的拉回等於 ω₁：

$f^{*}\omega _{2}=\omega _{1}.\,$

辛同胚的例子包括經典力學與理論物理中的典範變換，與任何哈密頓函數相伴的流，餘切叢上由流形的微分同胚誘導的映射，以及李群的一個余伴隨軌道在一個群元素下的余伴隨作用。

例子

• $\mathbf {R} ^{n}$ 中的平移是辛同胚。

流

由定義，辛流形上任何光滑函數給出一個哈密頓向量場，且這樣向量場的集合組成辛向量場李代數的一個子代數。一個辛向量場的流的積分是一個辛同胚。因為辛同胚保持辛 2-形式，從而也保持辛體積，於是有哈密頓力學中的劉維爾定理。由哈密頓向量場生成的辛同胚也成為哈密頓辛同胚。

因為

{H,H} = X_H(H) = 0，

哈密頓向量場的流也保持 H。在物理學中這解釋為能量守恆。

如果一個連通辛流形的第一個貝蒂數等於零，辛向量場與哈密頓向量場重合，所以哈密頓同痕與辛同痕的概念重合。

測地線的方程可以表述為一個哈密頓流。

（哈密頓）辛同胚群

從一個流形到自身的辛同胚組成一個無限維偽群。相應的李代數由辛向量空間組成。哈密頓辛同胚形成一個子群，它的李代數由哈密頓向量場給出。後者同構於光滑函數關於流形上泊松括號的李代數模去常數。

由班亞嘎的一個定理，哈密頓微分同胚群是單群。它們有由霍弗爾範數（Hofer norm）給出的自然幾何。某些簡單辛四維流形（比如球面的乘積）的辛同胚群的同倫型可用偽全純曲線的格羅莫夫定理計算出來。

與黎曼幾何比較

不像黎曼幾何，辛流形不是非常具有剛性：達布定理說明所有辛流形是局部同構的。與之對比地說，黎曼幾何中的等距必須保持黎曼曲率張量，這是黎曼流形的一個局部不變量。而且，辛流形上任何函數 H 定義了一個哈密頓向量場 X_H，其指數映射為哈密頓微分拓撲的單參數群。從而辛同胚群總是非常大的，無窮維。另一方面，黎曼流形的等距群總是一個（有限維）李群。進一步，具有大對稱群的黎曼流形是非常特別的，一般黎曼流形沒有非平凡對稱。

量子化

量 辛同胚的有限維子群（一般在 $\hbar$-形變後）在希爾伯特空間上的表示稱為子化。當李群是由一個哈密頓量定義的，它稱為一個「由能量量子化」。從李代數到連續線性算子李代數對應的算子通常也稱為量子化；這是物理學中更常見的方式。參見外爾量子化、幾何量子化、非交換幾何。

阿諾爾德猜想

阿諾爾德的一個著名猜想是關於 M 上一個哈密頓辛同胚 f 的不動點的最小數，當 M 是一個閉流形變為莫爾斯理論。更確切地，此猜想說 f 起碼不少於 M 上一個光滑函數的奇點個數（理解為「一般」情形，莫爾斯函數，這是有至少為 2 的有限數）。

這個猜想可由阿諾爾德-吉文特爾猜想得出。後者是以阿諾爾德與亞歷山大·吉文特爾命名的，它是關於拉格朗日子流形的一個論斷。通過構造辛弗洛爾同調，這在許多情形已經被證明了。

參考文獻

• Dusa McDuff and D. Salamon: Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 3.2.

辛同胚群：

• Gromov, M. Pseudoholomorphic curves in symplectic manifolds. Invent. Math. 82 (1985), no. 2, 307--347.
• Polterovich, Leonid. The geometry of the group of symplectic diffeomorphism. Basel ; Boston : Birkhauser Verlag, 2001.