遞迴

遞迴（英語：Recursion），又譯為遞歸，在數學與電腦科學中，是指在函數的定義中使用函數自身的方法。遞迴一詞還較常用於描述以自相似方法重複事物的過程。例如，當兩面鏡子相互之間近似平行時，鏡中巢狀的圖像是以無限遞迴的形式出現的。也可以理解為自我複製的過程。

正式定義

在數學和電腦科學中，遞迴指由一種（或多種）簡單的基本情況定義的一類物件或方法，並規定其他所有情況都能被還原為其基本情況。

例如，下列為某人祖先的遞迴定義：

費氏數列是典型的遞迴案例：

儘管有許多數學函數均可以遞迴表示，但在實際應用中，遞迴定義的高開銷往往會讓人望而卻步。例如：

一種便於理解的心理模型，是認為遞迴定義對物件的定義是按照「先前定義的」同類物件來定義的。例如：你怎樣才能移動100個箱子？答案：你首先移動一個箱子，並記下它移動到的位置，然後再去解決較小的問題：你怎樣才能移動99個箱子？最終，你的問題將變為怎樣移動一個箱子，而這時你已經知道該怎麼做的。

如此的定義在數學中十分常見。例如，集合論對自然數的正式定義是：1是一個自然數，每個自然數都有一個後繼，這一個後繼也是自然數。

以下是另一個可能更有利於理解遞迴過程的解釋：

這樣就有一種更有趣的描述：「為了理解遞迴，則必須首先理解遞迴。」或者更準確地，按照安德魯·普洛特金（英語：Andrew Plotkin）的解釋：「如果你已經知道了什麼是遞迴，只需記住答案。否則，找一個比你更接近侯世達的人；然後讓他／她來告訴你什麼是遞迴。」^[1]

數學中常見的以遞迴形式定義的案例參見函數、集合以及碎形等。

舉例：編寫一個程式使用遞迴求n的階乘：

Haskell:

fac 0 = 1
fac n = n * fac (n-1)

main = print( fac 10 )

從前有座山，山裡有座廟，廟裡有個老和尚，正在給小和尚講故事呢！故事是什麼呢？「從前有座山，山裡有座廟，廟裡有個老和尚，正在給小和尚講故事呢！故事是什麼呢？『從前有座山，山裡有座廟，廟裡有個老和尚，正在給小和尚講故事呢！故事是什麼呢？……』」
一隻狗來到廚房，偷走一小塊麵包。廚子舉起杓子，把那隻狗打死了。於是所有的狗都跑來了，給那隻狗掘了一個墳墓，還在墓碑上刻了墓誌銘，讓未來的狗可以看到：「一隻狗來到廚房，偷走一小塊麵包。廚子舉起杓子，把那隻狗打死了。於是所有的狗都跑來了，給那隻狗掘了一個墳墓，還在墓碑上刻了墓誌銘，讓未來的狗可以看到：『一隻狗來到廚房，偷走一小塊麵包。廚子舉起杓子，把那隻狗打死了。於是所有的狗都跑來了，給那隻狗掘了一個墳墓，還在墓碑上刻了墓誌銘，讓未來的狗可以看到……』」
大雄在房裏，用時光電視看著從前的情況。電視畫面中的那個時候，他正在房裏，用時光電視，看著從前的情況。電視畫面中的電視畫面的那個時候，他正在房裏，用時光電視，看著從前的情況……

謝爾賓斯基三角形-由封閉遞迴的三角形所形成之碎形

遞迴定義集

關於遞迴定義集的經典範例，可透過自然數來說明：

0\in \mathbb {N}

若

n\in \mathbb {N}

，則

n+1\in \mathbb {N}

滿足上述兩個條件之最小集合，即為自然數集合

另一個有趣範例為，公理系統中，所有可導出命題之集合

此集合稱為，可導出之命題之集合，因為在數學基礎方法中，依非建立性法構建的命題之集合，可能大於由公理系統及推理規則所遞迴構建出之集合，詳細請參見哥德爾不完備定理

有限次分割法為幾何形式之遞迴，可用以建立類碎形之圖案。次分割原則的運作如後所述，從多個已被有限個標籤標註的多邊形開始，接著每個多邊形僅根據其標籤，繼續細切到更小的多邊形，此一細切的過程可不斷重複。

^ 原文：「If you already know what recursion is, just remember the answer. Otherwise, find someone who is standing closer to Douglas Hofstadter than you are; then ask him or her what recursion is.」

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Stokey, Nancy,; Robert Lucas; Edward Prescott. Recursive Methods in Economic Dynamics. Harvard University Press. 1989. ISBN 0674750969.

Recursion - tutorial by Alan Gauld
A Primer on Recursion （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）- contains pointers to recursion in Formal Languages, Linguistics, Math and Computer Science
Google easter for recursion （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）