韋伯分布

韋伯分布（Weibull distribution）是可靠性分析和壽命檢驗的理論基礎。

韋伯分布

機率密度函數
累積分布函數
母數	$\lambda >0\,$尺度母數（實數） $k>0\,$形狀母數（實數）
值域	$x\in [0;+\infty )\,$
機率密度函數	$f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$
累積分布函數	$1-e^{-(x/\lambda )^{k}}$
期望值	$\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$
中位數	$\lambda (\ln(2))^{1/k}\,$
眾數	$\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,$ if $k>1$
變異數	$\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,$
偏度	${\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$
峰度	見內文
熵	$\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1$
動差母函數	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right),\ k\geq 1$
特徵函數	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right)$

例如，可以使用此分布回答以下問題：

預計將在老化期間失效的項目所占的百分比是多少？例如，預計將在 8 小時老化期間失效的保險絲占多大百分比？

預計在有效壽命階段有多少次保修索賠？例如，在該輪胎的 50,000 英里有效壽命期間預計有多少次保修索賠？

預計何時會出現快速磨損？例如，應將維護定期安排在何時以防止發動機進入磨損階段？

歷史

1927年，莫里斯·弗雷歇首先給出這一分布的定義。

1933年，Rosin, P.和Rammler, E.在研究碎末的分布時，第一次應用了韋伯分布。

1951年，瑞典工程師、數學家瓦洛迪·韋伯詳細解釋了這一分布，於是該分布便以他的名字命名為韋伯分布。

定義

從機率論和統計學角度看，韋伯分布是連續性的機率分布，其機率密度為：

$f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-({\frac {x}{\lambda }})^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$

其中，$x$是隨機變量，$\lambda >0$是比例母數（scale parameter），$k>0$是形狀母數（shape parameter）。顯然，它的累積分布函數是擴展的指數分布函數，而且韋伯分布與很多分布都有關係。如，當$k=1$，它是指數分布；$k=2$時，是Rayleigh distribution（瑞利分布）。

性質

均值

$E=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$ 其中，$\Gamma$是伽馬（gamma）函數。

方差

$Var=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right],$

偏度

$skewness={\frac {2\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{3}-3\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)+\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}$

峰度

$kurtosis={\frac {-3\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{4}+6\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}-4\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)+\Gamma \left(1+{\frac {4}{k}}\right)}{\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{2}\right]^{2}}}$

應用

工業製造

研究生產過程和運輸時間關係

雷達系統

對接受到的雜波信號的依分布建模

擬合度

無線通信技術中，相對指數衰減頻道模型，Weibull衰減模型對衰減頻道建模有較好的擬合度

風速

由於曲線形狀與現實狀況很匹配，被用來描述風速的分布