首個不可數序數

作為集合不可數的最小序數

數學中,首個不可數序數,傳統記之為ω1(或有時為Ω),是衆多序數當中,視為集合不可數的最小的一個。它是所有可數序數的最小上界。ω1 作為集合有不可數多個元素,但每個元素皆為可數序數。

與任何序數相像(馮·諾伊曼的方法),ω1是一個良序集合,以集合從屬性("∈")作為序的關係。ω1是一個極限序數,意即並不存在一個α使得α + 1 = ω1[1]

集合ω1,是第一個不可數基數——ℵ1阿列夫數1號。是故ω1乃是ℵ1的起始序數。而且,在大部份的構造中,ω1 與 ℵ1 是同一個集合(見馮·諾伊曼基數指派)。推而廣之,若α為任意序數,我們定義ωα 為基數ℵα的起始序數。

ω1的存在性,可以在沒有選擇公理的情況下被證明(見哈特格斯數)。

拓撲性質

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任一序數上都可定義序拓撲(即以開區間組成的集族為的拓撲),故可視為一個拓撲空間。視 ω1 為拓撲空間時,通常記為 [0,ω1) ,以強調其為所有小於 ω1 的序數組成的空間。

[0,ω1) 中的每個遞增 ω-序列都收斂到某個在 [0,ω1) 中的極限,因為由可數序數組成的可數集的(亦即序列的上確界)也是個可數序數。[1]

拓撲空間 [0,ω1) 是序列緊,但不是緊的[1]於是,無法將之度量化。不過,其為可數緊的英語countably compact space,故不是林德勒夫空間。由可數性公理觀之, [0,ω1) 第一可數,但不可分,也不第二可數

空間 [0,ω1] = ω1 + 1 為緊,但不第一可數。[1]通常用 ω1 來定義長直線,作為拓撲學上的重要反例。

參見

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參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Schechter, Eric. Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. 1997: 472–473. ISBN 978-0-12-622760-4. MR 1417259. doi:10.1016/B978-0-12-622760-4.X5000-6.