數學上,半指數函數(Half-exponential function)是指數函數函數平方根英语Functional square root;換句話說,若是一個半指數函數,則與自己的複合函數會是一個指數函數:[1][2] 其中.是常數。

解析解的不存在性

编辑

假若以加減乘除等標準算數運算、指數、對數及實數常數等來表達一個函數 ,那麼 要不就是次指數的,要不就是超指數的,[3]因此哈代L-函數英语Hardy field不可能是半指數函數。

建構

编辑

有無限多的函數,其半複合函數是與彼此相同的指數函數;特別地,對於任意位於開區間 當中的數 及任意從 映至 嚴格遞增满射連續函数 而言,都存在作為這函數擴張的嚴格遞增連續實數函數 ,使得 .[4],而這 是以下函數方程的唯一解:

 

 
半指數函數的例子

一個簡單的、使得 處處有連續一階導數例子,是設  ,而這會得到下式:  

應用

编辑

半指數函數出現於計算複雜性理論當中,在其中半指數成長率是介於多項式成長率與指數成長率「之間」的一種成長速率。[2]若一個函數 的成長率至少與半指數函數一樣快(也就是這函數與自身的複合函數的成長率是指數函數),就表示說這函數是非遞減的,且對於任意 而言,有 [5]

參見

编辑

參考資料

编辑
  1. ^ Kneser, H. Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x) = ex und verwandter Funktionalgleichungen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1950, 187: 56–67 [2022-06-22]. MR 0035385. (原始内容存档于2022-05-18). 
  2. ^ 2.0 2.1 Miltersen, Peter Bro; Vinodchandran, N. V.; Watanabe, Osamu. Asano, Takao; Imai, Hiroshi; Lee, D. T.; Nakano, Shin{-}Ichi; Tokuyama, Takeshi , 编. Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26-28, 1999, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 1627. Springer: 210–220. 1999. MR 1730337. doi:10.1007/3-540-48686-0_21.  |contribution=被忽略 (帮助)
  3. ^ van der Hoeven, J. Transseries and real differential algebra. Lecture Notes in Mathematics 1888. Springer-Verlag, Berlin. 2006. ISBN 978-3-540-35590-8. MR 2262194. doi:10.1007/3-540-35590-1. . See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the half-integer that would be required for a half-exponential function.
  4. ^ Crone, Lawrence J.; Neuendorffer, Arthur C. Functional powers near a fixed point. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1988, 132 (2): 520–529. MR 0943525. doi:10.1016/0022-247X(88)90080-7 . 
  5. ^ Razborov, Alexander A.; Rudich, Steven. Natural proofs. Journal of Computer and System Sciences. 1997, 55 (1): 24–35. MR 1473047. doi:10.1006/jcss.1997.1494 . 

外部連結

编辑