可除群

在群論中，一個可除群是一個滿足以下條件的阿貝爾群 $G$：對每個正整數 $n$ 及元素 $g\in G$，存在 $h\in G$ 使得 $nh=g$。等價的表法是：$\forall n>0,\;nG=G$。事實上，可除群恰好是 $\mathbb {Z}$ 上的內射模，所以有時也稱之為內射群。

例子

• 有理數 $\mathbb {Q}$ 對加法構成可除群。
• 一般而言，任何 $\mathbb {Q}$-向量空間對加法都構成可除群。
• 可除群的商群仍可除，如 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$。
• p-Prüfer 群 $\mathbb {Z} (p^{\infty }):=\{e^{\frac {2i\pi }{p^{m}}}:m\in \mathbb {N} _{\geq 0}\}$ 是可除群
• 在模型論中，任何存在性封閉的群皆可解。

可除群結構定理

令 $G$ 為可解群，則其撓子群 $\mathrm {Tor} (G)$ 亦可除。由於可解群是 $\mathbb {Z}$-內射模，$\mathrm {Tor} (G)$ 是直和項，即：

$G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).$

商群 $G/\mathrm {Tor} (G)$ 亦可解，而且其中沒有撓元，所以它是 $\mathbb {Q}$-上的向量空間：存在集合 $I$ 使得

$G/\mathrm {Tor} (G)=\oplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.$

撓子群的結構稍複雜，然而可以證明對所有素數 $p$，存在 $I_{p}$ 使得

$(\mathrm {Tor} (G))_{p}=\oplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},$

其中 $\mathrm {Tor} (G))_{p}$ 是 $\mathrm {Tor} (G)$ 是的 $p$-準素部分。於是：

$G=(\oplus _{P}\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})})\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.$

推廣

一個環 $R$ 上的左可除模是滿足 $\forall r\neq 0\in R,\;rM=M$ 的模 $M$。可除群不外是可除 $\mathbb {Z}$-模。主理想域上的可除模恰好是內射模。