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塞邁雷迪定理

整數集長而密的子集必有任意長的等差數列

在算術組合學（英语：arithmetic combinatorics）中，塞邁雷迪定理（英語：Szemerédi's theorem）是個關於自然數集子集中的等差数列的結論。1936年，艾狄胥·帕爾和圖蘭·帕爾猜想[1]：若整數集 A 具有正的自然密度，則對任意的正整數 k, 都可以在 A 中找出一個 k 項的等差數列。匈牙利數學家塞迈雷迪·安德烈於1975年證明了此結論。

定理敍述

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若自然数集的子集 A 滿足

 

則稱 A 具有正的上密度。塞邁雷迪定理斷言，若自然數集的一個子集具有正的上密度，則對任意的正整數 k, 該子集都包含無窮多個長為 k 的（公差不為 0) 的等差數列。

定理另有一個等價的有限性敍述（即不牽涉「無窮」的）：對任意的正整數 k 和實數  都存在正整數

 

使得 {1, 2, ..., N} 的每個至少 δN 元的子集，都包含長為 k 的等差數列。

定義 rk(N) 為 {1, 2, ..., N} 的子集當中，不包含長為 k 的等差數列的最大子集的大小。塞邁雷迪定理給出漸近上界

 

換言之，rk(N) 隨 N 的增長慢於線性。

歷史

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范德瓦尔登定理是塞邁雷迪定理的先驅，其於 1927 年獲證。

塞邁雷迪定理中， k = 1 和 k = 2 的情況顯然成立。 k = 3 的結論關乎薩萊姆-斯賓塞集（英语：Salem-Spencer set）（不包含 3 項等差數列的整數子集）的大小。1953 年，克勞斯·羅特[2] 利用類似哈代-李特爾伍德圓法的方法，證明了 k = 3 的結論。1969 年，塞迈雷迪·安德烈[3]利用組合學方法證明了 k = 4 的情況。在 1972 年，羅特[4]利用類似自己證明 k = 3 的情況的方法，給出了 k = 4 的情況的另證。

塞邁雷迪於 1975 年給出了適用於所有 k 的證明。[5] 他巧妙地擴展了自己先前對 k = 4 的情況的組合論證，艾狄胥稱該證明為「組合學推理的傑作」("a masterpiece of combinatorial reasoning")[6]. 定理亦有若干其他證明，較重要的有：1977 年希勒尔·菲尔斯滕贝格利用遍历理论給出的證明[7][8]，以及 2001 年高爾斯結合傅里叶分析和组合数学給出的證明[9]。陶哲轩稱塞邁雷迪定理的眾多證明為「羅塞塔石碑」，因為它們連結了幾個乍看之下迥異的數學分支。[10]

rk(N) 的具體大小

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rk(N) 的確切增長速度仍然未知。目前所知的上下界為

 

其中  歐布萊恩（Kevin O'Bryant) 證出了上述的下界[11] ，其證明建基於貝哈連德（Felix Behrend)[12]、羅伯特·藍欽（英语：Robert Alexander Rankin）[13]，以及埃爾金（Michael Elkin) [14][15]先前的成果。上界由高爾斯證出。[9]

對於較小的 k, 可以找到比起一般情況更緊的上下界。當 k = 3 時，布爾甘[16][17]、希斯-布朗[18]、塞邁雷迪[19]，以及湯姆·桑德斯[20]依次給出了愈來愈好的下界。目前所知的上下界為

 

兩邊的界限分別由歐布萊恩[11] 和布魯姆（Thomas Bloom) [21] 給出。

當 k = 4 時，本·格林（英语：Ben Green (mathematician)）和陶哲軒[22][23] 證明了存在 c > 0 使得

 

推廣

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希勒尔·菲尔斯滕贝格和伊扎克·卡茨內勒松（英语：Yitzhak Katznelson）利用遍歷理論整明了塞邁雷迪定理的高維推廣。[24] 高爾斯[25]、沃伊傑赫·勒德爾（英语：Vojtěch Rödl）和約澤夫·斯科肯 (Jozef Skokan) [26][27] ，以及布蘭登·納格 (Brendan Nagle)、 勒德爾和馬蒂亞斯·沙赫特（英语：Mathias Schacht）[28] ，和陶哲軒[29]給出了各自的組合學證明。

亞歷山大·萊布門 (Alexander Leibman) 和維塔利·別爾格爾松（英语：Vitaly Bergelson）[30] 給出定理對多項式列的推廣：若  的上密度為正，且  為滿足  的整值多項式（英语：Integer-valued polynomial），則存在無窮多組  使得對 都有   萊布門和別爾格爾松的結果同樣適用於高維的情況。

塞邁雷迪定理的有限性版本可推廣至有限的加法群上，例如有限域上的向量空间。[31] 定理在有限域上的類比，是有助理解原定理（在正整數集上）的模型。[32] 所謂封頂集（英语：Cap set）問題，就是要找出向量空間  所包含的無 3 項等差數列的最大子集的大小，即塞邁雷迪定理當 k = 3 時的界限。

格林-陶定理斷言，存在任意長的質數等差數列。此結論不能由塞邁雷迪定理推出，因為質數集的密度為 0. 本·格林（英语：Ben Green (mathematician)）和陶哲軒在其證明中引入了「相對性」（英語：relative) 的塞邁雷迪定理，該定理適用於任意具特定偽隨機性的整數子集（允許密度為 0)。大衛·康倫（英语：David Conlon），雅各布·福克斯（英语：Jacob Fox）和趙宇飛[33] (Yufei Zhao)其後亦給出了適用於更一般情況的相對性塞邁雷迪定理。[34][35]

埃尔德什等差数列猜想（斷言倒數和發散的集合，必有任意長的等差數列）可以推出塞邁雷迪定理和格林-陶定理。

參見

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參考資料

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