導出函子

在同調代數中，阿貝爾範疇間的某類函子可以「求導」，以獲得相應的導出函子。此概念可以融貫數學中許多領域裡的具體構造。

動機

考慮導出函子的原始目的是從一個短正合序列造出一個長正合序列。具體言之：給定兩個阿貝爾範疇 ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}$ ，及其間的加法函子 $F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ 。假設 $F$ 為左正合函子，換言之，對 ${\mathcal {A}}$ 中的任一短正合序列

0\to A\to B\to C\to 0

下列序列是正合的：

0\to F(A)\to F(B)\to F(C)

由此自然導出一個問題：如何自然地延長此正合序列？ $F$ 的（右）導出函子是一族函子 $R^{i}F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ ，滿足 $R^{0}F=F$ ，且有相應的長正合序列：

0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to R^{1}F(A)\to R^{1}F(B)\to R^{1}F(C)\to R^{2}F(A)\to \cdots

導出函子可以視為 $F$ 的右正合性的尺度。

構造與初步性質

右導出函子

今假設 ${\mathcal {A}}$ 中有充足的內射元。設 $X\in {\mathcal {A}}$ ，根據假設，存在內射分解：

0\to X\to I^{0}\to I^{1}\to I^{2}\to \cdots

取函子 $F$ ，得到上鏈複形：

0\to F(X)\to F(I^{0})\to F(I^{1})\to F(I^{2})\to \cdots

定義 $R^{i}F(X)$ 為其第 $i$ 個上同調群，特別是有 $R^{0}F(X)=F(X)$ 。注意到兩點：

由於任兩個內射分解彼此同倫等價，函子 $R^{i}F$ 在同構的意義下是明確定義的。
若 $X$ 是內射對象，取平凡分解 $0\to X\to X\to 0$ ，可知當 $i>0$ 時有 $R^{i}F(X)=0$ 。

左導出函子

左導出函子的建構與右導出函子對偶。設 $G:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ 為右正合加法函子，並假設 ${\mathcal {A}}$ 有充足的射影元。對任一對象 $X\in {\mathcal {A}}$ ，取一射影分解：

\cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to X\to 0

取函子 $G$ ，得到鏈複形：

\cdots \to G(P_{2})\to G(P_{1})\to G(P_{0})\to 0

定義 $L^{i}G(X)$ 為其第 $i$ 個同調群，其性質類似右導出函子。

逆變函子的情形

對於逆變函子也能定義導出函子，此時的導出函子也是逆變函子。較有系統的方法是利用反範疇的概念。

長正合序列

對於右導出函子的情形，任一短正合序列 $0\to A\to B\to C\to 0$ 給出長正合序列

\cdots \to R^{i-1}F(C)\to R^{i}F(A)\to R^{i}F(B)\to R^{i}F(C)\to R^{i+1}F(A)\to \cdots

對於左導出函子，相應的長正合序列形如

\cdots \to L^{i+1}G(C)\to L^{i}G(A)\to L^{i}G(B)\to L^{i}G(C)\to L^{i-1}G(C)\to \cdots

此外，這些長正合序列在下述意義下是「自然」的：

短正合列之間的態射導出長正合序列間的態射。
函子間的自然變換導出長正合序列尖的態射。

這些性質是蛇引理的推論。

應用

層上同調：對拓撲空間 $X$ ，考慮其上的阿貝爾群層構成的範疇，它有充足的內射元。整體截面函子 ${\mathcal {F}}\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {F}})$ 是左正合函子，相應的右導出函子即層上同調函子 ${\mathcal {F}}\mapsto H^{i}(X,{\mathcal {F}})$ 。
平展上同調：平展上同調用於概形上的另一種上同調理論。
Ext函子：設 $R$ 為環，考慮 $R$ -模範疇，它有充足的內射元及射影元。對任一 $R$ -模 $A$ ，函子 $\mathrm {Hom} _{R}(A,-)$ 為左正合的，其右導出函子記為 $B\mapsto \mathrm {Ext} _{R}^{i}(A,B)$ 。
Tor函子：同樣考慮 $R$ -模範疇，對任一 $R$ -模 $B$ ，函子 $-\otimes _{R}B$ 為右正合的，其左導出函子記為 $A\mapsto \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)$ 。
群上同調：設 $G$ 為群。所謂 $G$ -模是指被 $G$ 作用的阿貝爾群， $G$ -模範疇可以理解為 $\mathbb {Z} G$ -模範疇。對任一 $G$ -模 $M$ ，定義 $M^{G}:=\{m\in M:\forall g\in G,\;g\cdot m=m\}$ ，這是一個左正合函子，其右導出函子即群上同調函子 $M\mapsto H^{i}(G,M)$ 。

推廣

現代的導範疇理論為導出函子提供了一套較廣的框架。

文獻

Weibel, Charles A., An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp. ISBN 0-521-43500-5; 0-521-55987-1