尺规作图

僅以圓規和無刻度直尺繪製幾何物件

尺规作图(英语:Compass-and-straightedge 或 ruler-and-compass construction)是起源于古希腊数学课题。只使用圆规直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的平面几何作图题。

正五邊形的作圖
伏羲和女娲手里分别拿着折尺和圆规

值得注意的是,以上的“直尺”和“圆规”是抽象意义的,跟現實中的並非完全相同,具体而言,有以下的限制:

  • 直尺必須沒有刻度,無限長,只可以做過兩點之直線。
  • 圆规可以開至無限寬,但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成你之前構造過的長度或一個任意的長度。

尺规作图的研究,促成数学上多个领域的发展。有些数学结果就是为解决古希腊三大名题而得出的副产品,对尺规作图的探索推动了对圆锥曲线的研究,并发现了一批著名的曲线。

若干著名的尺规作图已知是不可能的,而当中很多不可能的例子是利用了19世纪出现的伽罗瓦理論以证明。尽管如此,仍有很多业余者尝试这些不可能的题目,当中以化圆为方三等分任意角(Angle trisection)最受注意。

原理

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作圖公法

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作圖公法

以下是尺規作圖中可用的基本方法,也稱為作圖公法,任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法:

  • 通過兩個已知點可作一直線。
  • 已知圓心和半徑可作一個圓。
  • 若兩已知直線相交,可得其交點。
  • 若已知直線和一已知圓相交,可得其交點。
  • 若兩已知圓相交,可得其交點。

問題

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古希臘三大難题

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古希臘三大難题是早期希臘数学家特别感兴趣的三个问题。由于我们的现代几何学知识是从希臘发源的,因此这三个古典几何问题在几何学中有着很高的地位。它们分别是:

化圆为方問題
求一个正方形的边长,使其面积与一已知圆的相等。
三等分角問題
求一角,使其角度是一已知角度的三分之一(可以用只有一點刻度的直尺與圓規作出)
倍立方問題。
求一立方体的棱长,使其体积是一已知立方体的二倍(可以用木工的角尺作出)。

在欧几里得几何学的限制下,以上三个问题都不可能解决。

  • 只使用直尺和圆规,作正五边形
  • 只使用直尺和圆规,作正六边形
  • 只使用直尺和圆规,作正七边形——这个看上去非常简单的题目,曾经使许多著名数学家都束手无策,而現在正七边形已被證明是不能由尺规作出的。
  • 只使用直尺和圆规,作正九边形,此图也不能作出来,因為單用直尺和圓規,是不足以把一个角分成三等份的。
  • 问题的解决:高斯大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的充分条件:尺规作图正多边形的边数目必须是2的非負整數次方乘以任意个(可为0个)不同的费马素数的积,解决了兩千年来悬而未决的难题。
  • 1832年,Richelot與Schwendewein給出正257邊形的尺規作法。
  • 1900年左右,约翰·古斯塔夫·爱马仕花費十年的功夫用尺規作圖作出正65537邊形,他的手稿裝滿一大皮箱,可以說是最複雜的尺規作圖。

這道題只准许使用圆规,要求參與者将一个已知圆心的圆周4等分。這道題传言是拿破仑·波拿巴擬出,向全法国数学家挑战的。這道題已被證明有解。

延伸

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圓規作圖

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  • 1672年,喬治·莫爾(Georg Mohr)证明:如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”,那么凡是尺规能作的,单用圆规也能作出,拿破崙問題就是一個例子。

直尺作圖

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  • 只用直尺所能作的圖其實不多,但在已知一个圆和其圆心的情况下,那么凡是尺规能作的,单用直尺也能作出。

生鏽圓规(即半径固定的圆规)作图

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  • 生锈圆规作图,已知两点  ,找出一点 使得 
  • 已知两点  ,只用半径固定的圆规,求作 使 是线段 的中点。
  • 尺规作图,是古希臘人按“盡可能简单”这个思想出发的,能更简洁的表达吗?顺着这思路就有了更简洁的表达。
    • 10世纪时,有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。
  • 從給定的兩點出發時,生鏽圓規作圖完全等價於尺規作圖。
  • 但是,「從給定的兩點出發」這一條件必不可少,在有多個已知點的條件下,鏽規作圖的能力還有待研究。
  • 將條件放寬,允許使用有刻度的直尺,可以三等分角或做出正七邊形等一般尺規做圖所做不到的事。

允许使用长度等于1的线段

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  • 已知两条线段AB、AC,可以作出一条线段的长度等于两条线段长度之乘积AB×AC。

外部連結

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尺規作圖的程式

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