庫拉托夫斯基十四集問題

在点集拓扑学中，庫拉托夫斯基十四集問題敘述是：給定拓樸空間的子集$S$，對$S$做任意有限次數的取補集或閉包，最多可以得到幾個不同的集合？

本問題又被稱作閉包補集問題，由庫拉托夫斯基於1922年提出，並給出了解答 14 。约翰·L·凯利撰寫的拓樸學經典教科書 General Topology 將庫拉托夫斯基十四集問題收錄做為一題習題，使得本問題在往後的 30 年間被許多人所熟知。

證明

對所有子集$A$，將$A$的補集記為$A^{/}$，閉包記為$A^{-}$，則有以下 3 件事實

1. $A^{//}=A$ (取補集是對合的)
2. $A^{--}=A^{-}$ (取閉包是冪等的)
3. $A^{/-/-/-/-}=A^{/-/-}$ (或等價的$A^{-/-/-/-}=A^{-/-}$，等價性來自 1.)

由 1. 和 2. 知，只需要考慮以下兩個序列就足夠了

$S^{/},S^{/-},S^{/-/},S^{/-/-},S^{/-/-/},...$ 及 $S^{-},S^{-/},S^{-/-},S^{-/-/},S^{-/-/-},...$

再由 3. 知，最多只會有 14 個相異集合。

若對$S$取補集或閉包可以產生恰好 14 個相異集合，則稱$S$是個 14-集。事實上，實數空間 $\mathbb {R}$與一般實數上的拓樸，形成的拓樸空間就有包含 14-集，例如

$(0,1)\cup (1,2)\cup \{3\}\cup {\bigl (}[4,5]\cap \mathbb {Q} {\bigr )},$

其中 ( , ) 和 [ , ] 分別代表開區間和閉區間。

其他結果

1962 年 T.A. Chapman 發現，對$S$做任意有限次數的取内部或閉包，則最多可以得到 7 幾個不同的集合。證明仍然化約到討論下面的兩個序列

$S^{0},S^{0-},S^{0-0},S^{0-0-},S^{0-0-0},...$ 及 $S^{-},S^{-0},S^{-0-},S^{-0-0},S^{-0-0-},...$

其中，$A^{0}$代表$A$的內部。

代數結構

雖然問題是屬於點集拓樸學，但是出乎意料的，它的性質卻比較代數，而非拓樸。1960 年代，類似概念的問題不斷被提出，然而大部分卻已經跟拓樸本身不太有關係了。

此外，取閉集或補集的運算定義了一個么半群，可以用來對不同拓樸空間做分類。

外部連結

• The Kuratowski Closure-Complement Theorem （页面存档备份，存于互联网档案馆） ，作者：B. J. Gardner 和 Marcel Jackson。
• The Kuratowski Closure-Complement Problem （页面存档备份，存于互联网档案馆），作者：Mark Bowron。