懸鏈曲面
懸鏈曲面(又名懸垂曲面)是一个曲面,是將懸鏈線繞其準線旋轉而得(見右側動畫),故為一旋轉曲面。除了平面以外,懸鏈曲面也是第一個被发现的极小曲面,在1744年被萊昂哈德·歐拉发现且證明。[1]Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。[2]只有兩個曲面既為旋轉曲面又是最小曲面,即為平面與懸鏈曲面。[3] 懸鏈曲面可被以下參數式所定義:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/Catenoid.svg/220px-Catenoid.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Catenoid.gif/220px-Catenoid.gif)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/Catenoid.png)
其中,且為非零實數。 在圓柱座標系則有:
其中为实数。
理想状态下,把一对经过肥皂溶液浸泡的圆形铁环张开,就可以得到一个悬链面形状的肥皂膜。这个现象的原理是由于肥皂膜会趋向于形成在固定边界(铁环)下表面积最小的旋转曲面,根据这个原理,可以用变分法证明肥皂膜的形状是悬链面。
螺旋面變換
编辑螺旋面與懸鏈曲面屬同一相關曲面,我們可以在不拉縮的情況下將懸鏈曲面扳成螺旋面。也就是說,我們可以用一個連續且等距的變換將懸鏈曲面變成螺旋面的一部份,且在變型的每一瞬間,曲面皆為极小曲面。此變換可由下列式子給出:
- 注意 ,且變換參數 滿足 ,
其中 對應到右旋螺旋面, 對應到懸鏈曲面, 對應到左旋螺旋面。
參見
编辑- ^ L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24
- ^ Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Catenoid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2014-12-30]. (原始内容存档于2013-12-28) (英语).