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拉格朗日定理 (群論)

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拉格朗日定理是群論中一個重要的結果，描述了一個群和它的子群的元素個數之間的關係。這個定理對有限群的結構給出了很多線索。

定理陳述 编辑

拉格朗日定理[1] — 如果   是群   的子群[註 1]，那麼

 
而如果   是有限群，那麼這個定理可以簡化成——   是   的因數。
證明思路

定理的證明利用了陪集的以下性質：

  1. 一個子群的所有陪集在集合意義下有相同的大小[註 2]（ Cardinality ）[2]。
  2. 一個子群的所有陪集分割[註 3]了整個群[3]。
  3. 根據集合的特性，   的大小可以寫成是陪集的大小（   ）乘上[註 4]陪集的數量（   ）。

推論 编辑

  1. 由拉格朗日定理可立即得到——有限群   中每個元素的階（ Order ）都會整除群   的階（考慮由這個元素生成的循環群）。
  2. 如果   是質數，那麽   同構於質數階的循環群   （因為質數沒有   和自身以外的因數）[4]。
  3. 費馬小定理是拉格朗日定理的一個簡單推論[5]。

逆命題 编辑

拉格朗日定理的逆命題並一般來說不成立。   的因數可能不是任何子群的階。例如交錯群   的階是   ，但它沒有任何階是   子群[6]。然而柯西定理以及它的推廣——西羅定理——則表明：具有特定形式的因數確實是某個子群的階；而如果   是可解群的話，則西羅定理還可以進一步推廣成霍爾定理（英语：Hall subgroup#Hall's theorem）。

參見 编辑

註解 编辑

  1. ^ 沒有假設是有限群
  2. ^ 或稱——勢
  3. ^ 意思是每個群元素都位在剛好一個（ exactly one ）陪集之中
  4. ^ cardinality 意義下的乘法。在有限的情況下就和是普通意義的整數乘法

引用 编辑

  1. ^ Hungerford 1974，第39頁，Corollary 4.6.
  2. ^ Hungerford 1974，第38頁，Theorem 4.2.
  3. ^ Hungerford 1974，第38頁，Corollary 4.3.
  4. ^ Gallian 2012，第149頁，Corollary 3.
  5. ^ Gallian 2012，第149頁，Corollary 5.
  6. ^ Gallian 2012，第149頁，Example 5.

參考文獻 编辑

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