數學中,拉開(法文:éclatement,英文:blowing up)、單項變換σ-過程是一種幾何的操作,代數幾何中的應用尤重。拉開是雙有理幾何的基本工具。對代數簇複流形 上一點 的拉開是將該點換為該點法叢射影叢,或者具體地說是換為該點切空間的射影空間,從而得到拉開態射 ,這是一個雙有理等價。對較高維子流形也能定義拉開。

當代代數幾何學將拉開視為對概形的內在操作,然而拉開也有外在的描述法,例如取一平面曲線,並對它所處的射影平面作某類變換;這是古典的進路,其想法至今仍反映於用語上。

對仿射空間中一點作拉開

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以下僅考慮複數  上的情形,一般構造準此可知。

  為複仿射空間   的原點,仿射空間的元素以坐標表為  。令   -維複射影空間,其元素以齊次坐標表示為  。 令    中由等式   定義之閉子集,其中  。則投影態射

 

自然地導出態射(特別也是全純函數

 

此態射  (或者更常指空間  )稱為  拉開

例外除數   定義為   對態射   的逆像。可以證明

 

同構於射影空間。它是個非負除數,而且在   之外   是同構。因此     之同構。

對複流形的子流形作拉開

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一般來說,我們可以開任何餘維為   的複子流形  。設   由方程式  定義,並設    上的齊次坐標。沿   的拉開   定義為方程  (對所有   )在空間   中定義的閉子集。

進一步推廣,我們可拉開任何複流形   的任一複子流形  ,方式是局部上化約到上述情形,拉開後再予以黏合。效果依然,我們將   拉開為例外除子  。而拉開態射

 

依然是雙有理的,並在   外是同構。   可自然地視作  法叢的射影化,因此   局部上是纖維化映射,其纖維為  

由於   是平滑除子,其法叢為線叢。對於曲面的情形,可證明   的自相交數為負,這表明其法叢沒有整體上定義的截面。  是其同調類在   上的唯一代表,原因在於:假設   經擾動後變為代表同一同調類的另一個複子流形,則它和   的相交數必為正,故矛盾。這是例外除子之所以「例外」之故。

  維某個   中不等於   的複子流形。若   不交  ,則它本質上不受沿   的拉開影響。然而若有相交,則    中導出兩個幾何對象:一者是真變換或稱嚴格變換,它是    中的閉包,其法叢一般與   的不同。另一者是全變換,包含   的全體或一部分,其同調類基本上是  上同調類之拉回。

推廣:概形的拉開

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拉開可以在一般的概形上定義。令   為一概形,並設   為其上一凝聚理想層,  沿   的拉開是概形  真態射

 

使得  可逆層,此拉開由下述泛性質刻劃:

對任何態射  ,若它使得   是可逆層,則   唯一地透過   分解。

此拉開可具體地由

 

構造。當  擬射影概形時,  將是射影態射

重要性質

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與有理映射的關係

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與奇點解消的關係

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曲面的拉開

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在平滑的射影曲面上,任何雙有理等價皆可分解為一系列的拉開與縮回。

以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分類中的基本工具:

定理 . 設   為平滑射影曲面,   上一個既約除數,若其相交矩陣   負定,則   可表成某個代數曲面的拉開,使得   為其例外除數。

相交理論

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相關的建構

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向法錐變形

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向法錐變形的技術可以證明代數幾何中的許多結果。給定一個概形   及其閉子概形  ,我們在   中拉開  ,則

 

是纖維化映射。沿著   的一般纖維自然同構於  ,而中心纖維則是兩個概形的并集:一者是   沿   的拉開;另一者則是   的法錐,其中我們將纖維緊化為射影空間。

辛流形的拉開

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拉開也可以在辛流形範疇中施行,稱作辛拉開。方式是將辛流形賦予殆複結構,然後仿照複拉開的模式。然而這僅在拓撲層次上有意義,我們必須小心地為拉開後的空間賦予一個辛形式,因為我們不能任意將辛形式沿例外除數   延拓,而必須在   的一個鄰域上修改之;或藉著將   的一個開鄰域切下,然後適當地折疊邊界以完成拉開。較好的理解方式是利用辛切割的一般理論,其中辛拉開只是個特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除數向法錐變形的類比。

文獻

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