柯尼格斯函数

数学中, 柯尼格斯函数是用于复分析动力系统中的一种函数。法国数学家加布里埃尔·泽维尔·保罗·科尼格斯于1884年引入了此函数,该函数作为复数单位圆盘内的单叶函数扩张,或单位圆盘内的映射组成的半群的扩张,给出一个规范表示。

柯尼希斯函数的存在性与唯一性

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D为复数中的单位圆盘,设D上有全纯函数 f固定点0,其中f不等于0且f不是D的自同构(即由SU(1,1)中矩阵定义的莫比乌斯变换)。

丹乔-沃尔夫定理英语Denjoy–Wolff theorem可知,f 使得每个由|z|<r表记的圆盘保持不变,且f的迭代一致紧密收敛到0:事实上,在0 < r < 1范围内,对于|z | ≤ rM(r ) < 1,有:

 

此外,f '(0) = λ,其中0 < |λ| < 1.

Koenigs (1884)证明了,在D上可以定义证明唯一的全纯函数h,称为柯尼希斯函数,使得h(0) = 0, h '(0)=1,同时满足施罗德方程英语Schröder's equation

 

函数h 是一系列归一化迭代  紧空间上的一致收敛极限,.

此外,如f为单价,则h同理[1][2]

因此,若f(因此 h)为单价,D则可用开放领域U = h(D)识别。 受此共形识别影响,映射f转换为乘以λ(即U上的膨胀)。

证明

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  • 独特性——若k是另一个解,一经分析,则足以证明k = h接近于0。令
 
接近0。遂H(0) =0,H'(0)=1 并且对于小|z |,
 
H代入幂级数,得出H(z) = z 接近0。故h = k接近0。
  • 存在——若 ,则依据施瓦茨引理
 
另一方面,
 
故依据魏爾施特拉斯判別法检验结果得出gn一致收敛于|z| ≤ r,因为
 
  • 单价——依据赫维茨定理,由于每个gn具有单价性和正规化两项属性(即固定0并在此有导数1),其极限h亦具有单价性。

引用

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  1. ^ Carleson & Gamelin 1993,第28–32頁
  2. ^ Shapiro 1993,第90–93頁

参考文献

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  • Berkson, E.; Porta, H., Semigroups of analytic functions and composition operators, Michigan Math. J., 1978, 25: 101–115, doi:10.1307/mmj/1029002009 
  • Carleson, L.; Gamelin, T. D. W., Complex dynamics, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-97942-5 
  • Elin, M.; Shoikhet, D., Linearization Models for Complex Dynamical Systems: Topics in Univalent Functions, Functional Equations and Semigroup Theory, Operator Theory: Advances and Applications 208, Springer, 2010, ISBN 978-3034605083 
  • Koenigs, G.P.X., Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles, Ann. Sci. École Norm. Sup., 1884, 1: 2–41 
  • Kuczma, Marek. Functional equations in a single variable. Monografie Matematyczne. Warszawa: PWN – Polish Scientific Publishers. 1968.  ASIN: B0006BTAC2
  • Shapiro, J. H., Composition operators and classical function theory, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-94067-7 
  • Shoikhet, D., Semigroups in geometrical function theory, Kluwer Academic Publishers, 2001, ISBN 0-7923-7111-9