单叶函数

单叶函数（univalent function）是数学领域中的复分析对函数的一种分类，若一全纯函数的定义域为复数平面中的一开集，而函数为单射函数，此函数即为单叶函数。

若$f$为一全纯函数，且满足下式

$\forall x_{1},x_{2}:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

则$f$为单叶函数。

举例

任何由开集单位圆盘映射到本身的映射$\phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\bar {a}}z}}$（其中$|a|\leq 1$）为单叶函数。

函数$f\colon z\mapsto 2z+z^{2}$在开单位圆盘内是单叶函数，因为$f(z)=f(w)$也就表示$f(z)-f(w)=(z-w)(z+w+2)=0$，而第二个因式在开单位圆盘内都不为零，因此$z=w$，$f$是单射函数。

基本性质

若$G$及$\Omega$为二个复数平面中的开集连通空间，且

$f:G\to \Omega$

是一个满足$f(G)=\Omega$的单叶函数（有一对一的对应关系），则$f$导数恒不为0，$f$可逆，而且其逆元素$f^{-1}$也是全纯函数。依链式法则可得到下式：

$(f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}$

对所有$G.$中的复数$z$皆成立。

和实函数的比较

实解析函数和全纯函数不同，上述的性质在实解析函数中不成立，考虑以下的实数函数：

$f:(-1,1)\to (-1,1)\,$

而ƒ(x) = x³。此函数也是单射函数，但在x = 0处其导数为0，其逆元素在 (−1, 1)区间中也不都是解析函数，也不完全可微。

若将定义域扩展到复数平面内，原点附近的开放子集$G$内，上述函数就不是单射函数了，例如$f(\varepsilon \omega )=f(\varepsilon )$（其中$\omega$是三次单位根，而$\varepsilon$是小于$G$半径的正实数）。

参考资料

• John B. Conway. Functions of One Complex Variable I. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90328-3.
• John B. Conway. Functions of One Complex Variable II. Springer-Verlag, New York, 1996. ISBN 0-387-94460-5.