歐幾里得-歐拉定理

數學上，歐幾里得-歐拉定理（英語：Euclid–Euler theorem）是一條聯繫偶完全數與梅森質數的定理。這定理指出每個偶完全數都可以寫成$2^{p-1}(2^{p}-1)$，其中$2^{p}-1$是質數。形如$2^{p}-1$的質數稱為梅森質數，因此其中的$p$必須是質數。

定理敘述

一個偶數是完全數（即等於它的所有真因數的和），當且僅當它有形式$2^{p-1}M_{p}$，其中$M_{p}$是梅森質數，即形為$M_{p}=2^{p}-1$ 的質數。

歷史

歐幾里得證明當$2^{p}-1$是質數時，$2^{p-1}(2^{p}-1)$是完全數（Prop. IX.36）。這是他的《幾何原本》中數論的最後一條結果。

過了超過一千年後，約在公元1000年，海什木猜想所有偶完全數都有形式$2^{p-1}(2^{p}-1)$，但他未能證明。

直至18世紀，數學家歐拉始證明所有偶完全數都有形式$2^{p-1}(2^{p}-1)$。因此確定偶完全數和梅森質數之間存在一一對應：每個偶完全數給出一個梅森質數，反之亦然。

證明

歐拉的證明簡短，用到因數總和函數$\sigma$是積性函數的性質：對任何兩個互質正整數$a$和$b$，都有$\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)$。要使這個公式成立，一個數的因數總和須包括該數本身，不只是真因數。一個數是完全數，當且僅當該數的因數總和是該數的兩倍。

定理中一個方向（歐幾里得所證明的）較為容易：如果$2^{p}-1$是質數，那麼

$\sigma (2^{p-1}(2^{p}-1))$

$=\sigma (2^{p-1})\sigma (2^{p}-1)$

$=(2^{p}-1)2^{p}$

$=2(2^{p-1}(2^{p}-1))$

至於另一個方向，設有偶完全數2^kx，其中x是奇數。它是完全數，故此

2^{k + 1}x = σ(2^kx) = (2^{k + 1} − 1)σ(x).

上式右邊的奇因數2^{k + 1} − 1 至少等於3，且必定整除或等於左邊唯一的奇因數x，因此y = x/(2^{k + 1} − 1) 是x的真因數。將上式兩邊除以公因數2^{k + 1} − 1，並考慮x已知有因數x和y，得出

2^{k + 1}y = σ(x) = x + y + 其他各因數 = 2^{k + 1}y + 其他各因數.

要使等式成立，必需無其他因數，因此y必定等於1，x必定是形為2^{k + 1} − 1的質數。定理得證。