正扭歪無限面體
在幾何學中,正扭歪[1][2]無限面體(英語:Regular skew apeirohedron),又稱扭歪正多面體(日语:ねじれ正多面体)[註 1]是一種頂點並非全部共面的正無限面體,即每個面都全等、每個角也相等的扭歪無限面體。通常扭歪無限面體會具有正扭歪的面或扭歪的頂點圖。
歷史
编辑關於考克斯特,1926年時,約翰·弗林德斯·皮特里將扭歪多邊形(非平面多邊形)的概念推廣到四維空間的扭歪多面體和三維空間的扭歪無限面體。
考克斯特找到了三種形式,他們具有平的面和扭歪的頂點圖,兩者彼此互補。它們都可以用施萊夫利符號的擴展符號{l,m|n}來表示。這個擴展符號{l,m|n}表示每個頂點都是 個正 邊形的公共頂點,且存在正 邊形的空洞。
若一扭歪無限面體是一個正扭歪無限面體,則其施萊夫利符號存在下列等式:
- 2 sin(π/l) · sin(π/m) = cos(π/n)
三維空間的正扭歪無限面體
编辑三維空間中有三種扭歪無限面體,分別為四角六片四角孔扭歪無限面體、六角四片四角孔扭歪無限面體和六角六片三角孔扭歪無限面體。約翰·康威將他們稱為多立方體(英語:Mucube)、多八面體(英語:Muoctahedron)和、多四面體(英語:Mutetrahedron),英文中的字首mu-表示「多」(英語:multiple)的意思,其意義分別代表「很多立方體」、「很多八面體」以及「很多四面體」[3]。
- 四角六片四角孔扭歪無限面體(多立方體、英語:Mucube):{4,6|4}:每個頂點都是六個正方形的公共頂點
- 六角四片四角孔扭歪無限面體(多八面體、英語:Muoctahedron):{6,4|4}:每個頂點都是四個六邊形的公共頂點
- 六角六片三角孔扭歪無限面體(多四面體、英語:Mutetrahedron):{6,6|3}:每個頂點都是六個六邊形的公共頂點
考克斯特給予這些 {2q,2r|p} 形式的扭歪無限面體與抽象群 (2q,2r|2,p) 同構的[[(p,q,p,r)]+的手徵對稱性。與之相關的堆砌就具有[[(p,q,p,r)]]的擴展對稱性[4]。
考克斯特群 對稱性 |
無限面體 {p,q|l} |
圖像 | 面 {p} |
洞 {l} |
頂點圖 | 相關堆砌 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
[[4,3,4]] [[4,3,4]+] |
{4,6|4} 四角六片四角孔 扭歪無限面體 多立方體 |
動畫 |
扭歪六邊形 (黃色部分) |
t0,3{4,3,4} |
|||
{6,4|4} 六角四片四角孔 扭歪無限面體 多八面體 |
動畫 |
扭歪四邊形 (綠色部分) |
2t{4,3,4} |
||||
[[3[4]]] [[3[4]]+] |
{6,6|3} 六角六片三角孔 扭歪無限面體 多四面體 |
動畫 |
扭歪六邊形 (綠色部分) |
q{4,3,4} |
三維雙曲空間的正扭歪無限面體
编辑1967年時,C. W. L. Garner以類似於在歐式三維空間尋找正扭歪無限面體的方式,發現了31種雙曲空間中具有扭歪多邊形頂點圖的正扭歪無限面體[5]。
14種緊空間正扭歪無限面體
编辑考克斯特群 | 無限面體 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 頂點圖 | 無限面體 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 頂點圖 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[3,5,3] |
{10,4|3} | 2t{3,5,3} |
{4,10|3} | t0,3{3,5,3} |
|||||||
[5,3,5] |
{6,4|5} | 2t{5,3,5} |
{4,6|5} | t0,3{5,3,5} |
|||||||
[(4,3,3,3)] |
{8,6|3} | ct{(4,3,3,3)} |
{6,8|3} | ct{(3,3,4,3)} |
|||||||
[(5,3,3,3)] |
{10,6|3} | ct{(5,3,3,3)} |
{6,10|3} | ct{(3,3,5,3)} |
|||||||
[(4,3,4,3)] |
{8,8|3} | ct{(4,3,4,3)} |
{6,6|4} | ct{(3,4,3,4)} |
|||||||
[(5,3,4,3)] |
{8,10|3} | ct{(4,3,5,3)} |
{10,8|3} | ct{(5,3,4,3)} |
|||||||
[(5,3,5,3)] |
{10,10|3} | ct{(5,3,5,3)} |
{6,6|5} | ct{(3,5,3,5)} |
17種仿緊空間正扭歪無限面體
编辑考克斯特群 | 無限面體 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 頂點圖 | 無限面體 {p,q|l} |
面 {p} |
洞 {l} |
堆砌 | 頂點圖 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[4,4,4] |
{8,4|4} | 2t{4,4,4} |
{4,8|4} | t0,3{4,4,4} |
|||||||
[3,6,3] |
{12,4|3} | 2t{3,6,3} |
{4,12|3} | t0,3{3,6,3} |
|||||||
[6,3,6] |
{6,4|6} | 2t{6,3,6} |
{4,6|6} | t0,3{6,3,6} |
|||||||
[(4,4,4,3)] |
{8,6|4} | ct{(4,4,3,4)} |
{6,8|4} | ct{(3,4,4,4)} |
|||||||
[(4,4,4,4)] |
{8,8|4} | q{4,4,4} |
|||||||||
[(6,3,3,3)] |
{12,6|3} | ct{(6,3,3,3)} |
{6,12|3} | ct{(3,3,6,3)} |
|||||||
[(6,3,4,3)] |
{12,8|3} | ct{(6,3,4,3)} |
{8,12|3} | ct{(4,3,6,3)} |
|||||||
[(6,3,5,3)] |
{12,10|3} | ct{(6,3,5,3)} |
{10,12|3} | ct{(5,3,6,3)} |
|||||||
[(6,3,6,3)] |
{12,12|3} | ct{(6,3,6,3)} |
{6,6|6} | ct{(3,6,3,6)} |
參見
编辑註釋
编辑- ^ 對於此主題(無限多個面的扭歪多面體),將之稱為「扭歪正多面體」可能會有歧義,因為非無限多面的扭歪多面體也可能是正多面體,例如正多面體#皮特里對偶。
參考文獻
编辑- ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. (原始内容存档于2020-11-19).
- ^ 扭歪の意味. Weblio日中中日辞典.
- ^ The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335
- ^ Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34)
- ^ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1] (页面存档备份,存于互联网档案馆) Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.